Esercizio massimo e minimo trigonometria
Nel triangolo rettangolo ABC è AB = AC = a. COstruisci, nel semipiano non contenente A e avente come origine la retta BC, il triangolo BDC, tale che l'angolo BDC sia pi/4 e l'angolo BCD = x. per quali valori di x è massimo il quadrato della distanza di A da D?
io ho applicato il teorema dei seni al triangolo BDC, e ho trovato BD = 2a senx
ho trovato BC con il teorema di pitagora
Ho trovato l'angolo CBD come 3/4 pi - x
MA non so come continuare per trovare AD.
L'unica idea era di fare la verticale da D alla retta AB, e considerare il triangolo rettangolo ADE ( E sarebbe il punto in cui la verticale da D incontra la retta AB), ma mi trovo un equazione che non riesco a risolvere e comunque diversa da quella proposta nella soluzione. QUindi la strada deve essere un'altra.
io ho applicato il teorema dei seni al triangolo BDC, e ho trovato BD = 2a senx
ho trovato BC con il teorema di pitagora
Ho trovato l'angolo CBD come 3/4 pi - x
MA non so come continuare per trovare AD.
L'unica idea era di fare la verticale da D alla retta AB, e considerare il triangolo rettangolo ADE ( E sarebbe il punto in cui la verticale da D incontra la retta AB), ma mi trovo un equazione che non riesco a risolvere e comunque diversa da quella proposta nella soluzione. QUindi la strada deve essere un'altra.
Risposte
Hai visto qual è il luogo dei punti D?
Beh in che senso? Ho visto che D può cadere o diciamo a sinistra di B o a destra, dunque non so bene come considerare il triangolo ADE, perchè E potrebbe cadere dentro o fuori AB.
In ogni caso, un'altra idea era quella di applicare il teorema del coseno al triangolo ADB ( ho due lati e l'angolo compreso), ma non credo sia la strada giusta.
In ogni caso, un'altra idea era quella di applicare il teorema del coseno al triangolo ADB ( ho due lati e l'angolo compreso), ma non credo sia la strada giusta.
"qwerty97":
Beh in che senso?
Come, in che senso? Le possibili posizioni di D formeranno pure una qualche figura, no? Sono i punti che vedono il segmento BC sotto un angolo di 45°...
Scusami, ma non riesco a seguirti...Potresti spiegare in un altro modo quello che intendi?
Voglio dire: il triangolo BDC deve avere un angolo di 45° in D. Secondo te, D può stare dappertutto? Suppongo di no... e quali sono allora i posti dove puoi collocare D in modo che il vincolo dei 45° sia rispettato?
Una volta che hai capito questo, sei a posto, quasi
Una volta che hai capito questo, sei a posto, quasi
Ok ora ho capito cosa intendi. Non riesco ancora a capire come trovare questi vincoli però.
Pensa al teorema sugli angoli alla circonferenza metà dell'angolo al centro
Ma quale circonferenza? quella che ha centro in A?
Mm... Credo di avere bisogno di aiuto piu diretto per risolvere il problema. L'esercizio chiede di impostare AD al quadrato in funzione di x, e comparirà una funzione goniometrica ( la soluzione dà il seno), e poi per dire quando è massima, ragionerò sui valori limiti del seno. Solo che io non riesco a scrivere ADquadro in funzione di x
Mm... Credo di avere bisogno di aiuto piu diretto per risolvere il problema. L'esercizio chiede di impostare AD al quadrato in funzione di x, e comparirà una funzione goniometrica ( la soluzione dà il seno), e poi per dire quando è massima, ragionerò sui valori limiti del seno. Solo che io non riesco a scrivere ADquadro in funzione di x
Se costruisci il simmetrico di A rispetto a BC, A', e costruisci la circonferenza con centro in A' che passa per B e C, si ha che l'angolo BA'C è di 90°. Allora i punti della circonferenza (quelli che stanno sui 3/4 di circonferenza delimitati da B e C) uniti con B e C formano angoli di 90/2 = 45°, ossia sono i punti D che ci servono.
Qual è il punto fra questi più lontano da A? Quello che sta sull'asse di BC (perchè?).
Il triangolo BCD risulta isoscele, e l'angolo x (quello in C) vale $(pi - pi/4)/2 = 3/8pi$
L'esercizio non mi pare che chieda di trovare $AD^2$ in funzione di x. Chiede di trovare per quale x $AD^2$ è massimo. Forse cercando una espressione trigonometrica di AD in funzione di x viene comodo usare il quadrato di AD. Nella soluzione che propongo si trova direttamente x che dà il massimo di AD, e che chiaramente dà anche il massimo di $AD^2$
Qual è il punto fra questi più lontano da A? Quello che sta sull'asse di BC (perchè?).
Il triangolo BCD risulta isoscele, e l'angolo x (quello in C) vale $(pi - pi/4)/2 = 3/8pi$
L'esercizio non mi pare che chieda di trovare $AD^2$ in funzione di x. Chiede di trovare per quale x $AD^2$ è massimo. Forse cercando una espressione trigonometrica di AD in funzione di x viene comodo usare il quadrato di AD. Nella soluzione che propongo si trova direttamente x che dà il massimo di AD, e che chiaramente dà anche il massimo di $AD^2$
Ok, ora ho capito il ragionamento e in effetti questa soluzione è molto più rapida. Tuttavia, questo tipo di esercizi chiede di trovare AD^2 in funzione di x. Infatti, la soluzione proposta che è quella che vorrei raggiungere io ( anche solo per capire come l'ha trovata) è:
AD^2 = [3 + 2rad2*sin(2x-pi/4)]a^2
e poi da li capisco che la funzione è massima ha quando l'argomento del seno è pi/2, e trovo lo stesso risultato a cui sei pervenuto tu.
Per cui ti ringrazio per la soluzione che hai proposto, ma mi piacerebbe anche arrivare a quella del libro, se puoi aiutarmi
AD^2 = [3 + 2rad2*sin(2x-pi/4)]a^2
e poi da li capisco che la funzione è massima ha quando l'argomento del seno è pi/2, e trovo lo stesso risultato a cui sei pervenuto tu.
Per cui ti ringrazio per la soluzione che hai proposto, ma mi piacerebbe anche arrivare a quella del libro, se puoi aiutarmi
Posso darti qualche spunto. Dal teorema dei seni trovi che $(BC)/sin 45 = (CD)/sin(DhatBC)$ e $DhatBC = 135 - x$.
Dal teorema del coseno trovi che $AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC*CD*cos(45 + x)$
Direi che, salvo gli spiacevoli conti, la dipendenza di AD da x vien fuori.
Dal teorema del coseno trovi che $AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC*CD*cos(45 + x)$
Direi che, salvo gli spiacevoli conti, la dipendenza di AD da x vien fuori.
Esatto, sono arrivato proprio fino a lì. Ma sviluppando quella funzione, non trovo la soluzione che da il libro. Io ho il coseno, nella soluzione c'è il seno. Mi manca solo la parte algebrica ecco
Beh, $cos(45+x) = sin(45-x)$...
Non riesco proprio. Guarda. Io voglio proprio trovare la soluzione che dà il libro e che ho scritto prima. Ma non riesco. Secondo me utilizza le formule di werner tipo per fare sen * cos .... ma non capisco dove e come.
Potresti farmi i vari passaggi?
L'esercizio l'ho quasi risolto, e sto davvero perdendo le speranze per la parte algebrica
Ah, ma io non ho la soluzione...
AD^2 = [3 + 2rad2*sin(2x-pi/4)]a^2
Voglio dire, io NON SO trovare quella soluzione...
$bar(AD)^2=a^2[1+4sin^2(x)+4sin(x)cos(x)]=a^2[3-2(1-2sin^2(x))+2*2sin(x)cos(x)]=$
Applicando le formule di duplicazione, diventa:
$=a^2[3-2(sin(2x)-cos(2x))]=$
Applicando la formula dell'angolo aggiunto, diventa:
$bar(AD)^2=a^2[3-2sqrt(2)sin(2x-pi/4)]$
Applicando le formule di duplicazione, diventa:
$=a^2[3-2(sin(2x)-cos(2x))]=$
Applicando la formula dell'angolo aggiunto, diventa:
$bar(AD)^2=a^2[3-2sqrt(2)sin(2x-pi/4)]$
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