Esercizio luogo geometrico
Determinare il luogo dei punti medi delle corde staccate dalle rette del fascio di equazione y=mx sulla circonferenza di equazione x^2+y^2-8x=0
Risposte
io farei cosi':
determinerei i punti di intersezione tra le rette del fascio e la circonferenza.
dunque
e dunque
e pertanto, dal momento che i punti appartengono alle rette del fascio
I punti medi sono quei punti (x,y) equidistanti dall'origine (origine del fascio e punto di intersezione tra il fascio e la circonferenza (fisso) e dai punti di intersezione (variabili a seconda di m)
Queste distanze dovranno essere uguali:
eleviamo al quadrato ambo i membri (ovvero eliminiamo le radici) ed eseguiamo i conti:
x e y al quadrato se ne vanno e rimane:
ovvero (semplificando la seconda frazione, senza alcuna imposizione di esistenza dal momento che 1+m^2 non e' mai =0..
Che direi che e' il luogo dei punti del piano cercato.
determinerei i punti di intersezione tra le rette del fascio e la circonferenza.
[math] \{y=mx \\ x^2+y^2-8x [/math]
dunque
[math] x^2+(mx)^2-8x=0 \to x^2+m^2x^2-8x=0 \to (m^2+1)x^2-8x=0 [/math]
e dunque
[math] x((m^2+1)x-8 )=0 \to x_1=0 \ \ x_2= \frac{8}{m^2+1} [/math]
e pertanto, dal momento che i punti appartengono alle rette del fascio
[math] y=mx [/math]
[math] x=0 \to y=0 [/math]
[math] x= \frac{8}{1+m^2} \to y=\frac{8m}{1+m^2} [/math]
I punti medi sono quei punti (x,y) equidistanti dall'origine (origine del fascio e punto di intersezione tra il fascio e la circonferenza (fisso) e dai punti di intersezione (variabili a seconda di m)
Queste distanze dovranno essere uguali:
[math] \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}= \sqrt{(x- \frac{8}{1+m^2})^2+(y- \frac{8m}{1+m^2})^2} [/math]
eleviamo al quadrato ambo i membri (ovvero eliminiamo le radici) ed eseguiamo i conti:
[math] x^2+y^2=x^2- \frac{16x}{1+m^2}+ \frac{64}{(1+m^2)^2}+y^2-\frac{16my}{1+m^2}+ \frac{64m^2}{(1+m^2)^2} [/math]
x e y al quadrato se ne vanno e rimane:
[math]0=\frac{-16x-16my}{1+m^2}+ \frac{64(1+m^2)}{(1+m^2)^2} [/math]
ovvero (semplificando la seconda frazione, senza alcuna imposizione di esistenza dal momento che 1+m^2 non e' mai =0..
[math] \frac{x+my-4}{1+m^2} =0 [/math]
Che direi che e' il luogo dei punti del piano cercato.