Esercizio luogo geometrico

[elbarto1993]

Determinare il luogo dei punti medi delle corde staccate dalle rette del fascio di equazione y=mx sulla circonferenza di equazione x^2+y^2-8x=0

[BIT5]

io farei cosi':

determinerei i punti di intersezione tra le rette del fascio e la circonferenza.

[math] \{y=mx \\ x^2+y^2-8x [/math]

dunque

[math] x^2+(mx)^2-8x=0 \to x^2+m^2x^2-8x=0 \to (m^2+1)x^2-8x=0 [/math]

e dunque

[math] x((m^2+1)x-8 )=0 \to x_1=0 \ \ x_2= \frac{8}{m^2+1} [/math]

e pertanto, dal momento che i punti appartengono alle rette del fascio

[math] y=mx [/math]

[math] x=0 \to y=0 [/math]

[math] x= \frac{8}{1+m^2} \to y=\frac{8m}{1+m^2} [/math]

I punti medi sono quei punti (x,y) equidistanti dall'origine (origine del fascio e punto di intersezione tra il fascio e la circonferenza (fisso) e dai punti di intersezione (variabili a seconda di m)

Queste distanze dovranno essere uguali:

[math] \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}= \sqrt{(x- \frac{8}{1+m^2})^2+(y- \frac{8m}{1+m^2})^2} [/math]

eleviamo al quadrato ambo i membri (ovvero eliminiamo le radici) ed eseguiamo i conti:

[math] x^2+y^2=x^2- \frac{16x}{1+m^2}+ \frac{64}{(1+m^2)^2}+y^2-\frac{16my}{1+m^2}+ \frac{64m^2}{(1+m^2)^2} [/math]

x e y al quadrato se ne vanno e rimane:

[math]0=\frac{-16x-16my}{1+m^2}+ \frac{64(1+m^2)}{(1+m^2)^2} [/math]

ovvero (semplificando la seconda frazione, senza alcuna imposizione di esistenza dal momento che 1+m^2 non e' mai =0..

[math] \frac{x+my-4}{1+m^2} =0 [/math]

Che direi che e' il luogo dei punti del piano cercato.