Esercizio luoghi geometrici
Salve sto facendo un esercizio con il seguente testo:
Trovare l'equazione del luogo dei punti d'intersezione delle rette tra loro perpendicolari e appartenenti rispettivamente ai fasci di centri O(0;0) e A(1;3)
Io ho fatto così:
Ho trovato il fascio per i due punti:
O(0;0) => [tex]y=mx[/tex]
A(1;3) => [tex]y=mx-m+3[/tex]
Poi ho sostituito al coefficente angolare della seconda retta il coefficente angolare della retta perpendicolare alla prima. Infatti per ogni m che io assegno alla variabile del primo fascio, automaticamente ottengo la perpendicolare nel secondo fascio (spero sia giusto):
Quindi il fascio per A diventa [tex]y=(-1/m)x-m+3[/tex]
Ovviamente [tex]m \ne 0[/tex]
Poi ho fatto il sistema e trovato la X e la Y in funzione di M:
[tex]X = (-m^2+3m)/(m^2+1)[/tex]
[tex]Y = (-m^3+3m^2)(m^2+1)[/tex]
Ora il problema è che non riesco a mettere una delle due coordinate in funzione di X (con M variabile dipendente).
Così sucessivamente posso sostituire l'equazione nell'altra coordinata ed ottenere il luogo dei punti con le sole variabili X e Y.
Chi mi aiuta? Grazie.
Trovare l'equazione del luogo dei punti d'intersezione delle rette tra loro perpendicolari e appartenenti rispettivamente ai fasci di centri O(0;0) e A(1;3)
Io ho fatto così:
Ho trovato il fascio per i due punti:
O(0;0) => [tex]y=mx[/tex]
A(1;3) => [tex]y=mx-m+3[/tex]
Poi ho sostituito al coefficente angolare della seconda retta il coefficente angolare della retta perpendicolare alla prima. Infatti per ogni m che io assegno alla variabile del primo fascio, automaticamente ottengo la perpendicolare nel secondo fascio (spero sia giusto):
Quindi il fascio per A diventa [tex]y=(-1/m)x-m+3[/tex]
Ovviamente [tex]m \ne 0[/tex]
Poi ho fatto il sistema e trovato la X e la Y in funzione di M:
[tex]X = (-m^2+3m)/(m^2+1)[/tex]
[tex]Y = (-m^3+3m^2)(m^2+1)[/tex]
Ora il problema è che non riesco a mettere una delle due coordinate in funzione di X (con M variabile dipendente).
Così sucessivamente posso sostituire l'equazione nell'altra coordinata ed ottenere il luogo dei punti con le sole variabili X e Y.
Chi mi aiuta? Grazie.
Risposte
Intanto consiglio di non usare la stessa lettera (cioè m) per le due equazioni: sono pendenze di rette diverse, quindi è meglio indicarle con lettere diverse. Puoi mettere degli indici; per comodità di scrittura, io userò n nella seconda equazione. Con lettere diverse, ti accorgi subito che l'equazione dopo "... il fascio per A diventa ..." è sbagliata.
Inoltre non conviene risolvere il sistema ricavando x,y: quando si cerca un luogo, il metodo migliore è arrivare fino a scrivere il sistema che, risolto, darebbe x,y ma poi eliminare il parametro (o i parametri): di solito il metodo più semplice è ricavarlo da un'equazione e sostituirlo nell'altra. Nel tuo caso hai tre equazioni y=mx; y=n(x-1)-3; mn =-1 quindi ...
Finiscilo con l'analitica, ma poi osserva bene la figura: c'è una semplicissima soluzione con la geometria euclidea.
Inoltre non conviene risolvere il sistema ricavando x,y: quando si cerca un luogo, il metodo migliore è arrivare fino a scrivere il sistema che, risolto, darebbe x,y ma poi eliminare il parametro (o i parametri): di solito il metodo più semplice è ricavarlo da un'equazione e sostituirlo nell'altra. Nel tuo caso hai tre equazioni y=mx; y=n(x-1)-3; mn =-1 quindi ...
Finiscilo con l'analitica, ma poi osserva bene la figura: c'è una semplicissima soluzione con la geometria euclidea.
Prima di tutto ringrazio per la disponibilita'.
Ho fatto così, solo che ho esposto male.
A questo non avevo proprio pensato
Inoltre non capisco perché dovrei usare due lettere diverse. Cioé se io faccio in modo che tutte e due i fasci abbiano lo stesso coefficente angolare (m), so che saranno sempre parallele indipendentemente dal valore di M. E se faccio la stessa cosa, solo che a una metto M e all'altra (-1/M), ho la garanzia che se una ha coefficente angolare (per esempio) 3, l'altra automaticamente avrà coefficente angolare -1/3
Ehm.. le mie conoscenze in campo euclideo sono basilari... potresti illuminarmi con qualche indizio (non soluzione)?
Premetto che so già che il risultato è una circonferenza.
Inoltre non conviene risolvere il sistema ricavando x,y: quando si cerca un luogo, il metodo migliore è arrivare fino a scrivere il sistema che, risolto, darebbe x,y ma poi eliminare il parametro (o i parametri): di solito il metodo più semplice è ricavarlo da un'equazione e sostituirlo nell'altra
Ho fatto così, solo che ho esposto male.
Nel tuo caso hai tre equazioni y=mx; y=n(x-1)-3; mn =-1 quindi ...
A questo non avevo proprio pensato
Inoltre non capisco perché dovrei usare due lettere diverse. Cioé se io faccio in modo che tutte e due i fasci abbiano lo stesso coefficente angolare (m), so che saranno sempre parallele indipendentemente dal valore di M. E se faccio la stessa cosa, solo che a una metto M e all'altra (-1/M), ho la garanzia che se una ha coefficente angolare (per esempio) 3, l'altra automaticamente avrà coefficente angolare -1/3
Finiscilo con l'analitica, ma poi osserva bene la figura: c'è una semplicissima soluzione con la geometria euclidea.
Ehm.. le mie conoscenze in campo euclideo sono basilari... potresti illuminarmi con qualche indizio (non soluzione)?
Premetto che so già che il risultato è una circonferenza.
Non capisci perché è utile usare lettere diverse? Per evitare errori come questo
Sostituendo nel fascio per A devi sostituire ad entrambi i valori di m e quindi viene $y=-1/m x+1/m+3$, se tu avessi usato lettere diverse non avresti commesso l'errore.
"hkproj2":
Quindi il fascio per A diventa [tex]y=(-1/m)x-m+3[/tex]
Sostituendo nel fascio per A devi sostituire ad entrambi i valori di m e quindi viene $y=-1/m x+1/m+3$, se tu avessi usato lettere diverse non avresti commesso l'errore.
aahhh che scemo!
grazie mille dell'aiuto.
grazie mille dell'aiuto.
"hkproj2":Il tuo problema può essere enunciato anche così: "Dati i punti O(0,0) e A(1,3), trovare il luogo geometrico dei punti P tali che OPA sia un angolo retto". Ti basta come indizio? In caso negativo, guarda che circonferenza è il risultato.
Ehm.. le mie conoscenze in campo euclideo sono basilari... potresti illuminarmi con qualche indizio (non soluzione)?
Premetto che so già che il risultato è una circonferenza.
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