Esercizio: Limite per x che tende a 0
Salve, dopo aver pubblicato la mia presentazione sull'apposita sezione, vorrei chiedervi un aiuto sul seguente limite.
Ho provato a svolgerlo e ho notato subito che esso somiglia molto a un limite notevole, si differenzia da esso perchè all'interno è presente un 3x anziché solamente x. Il problema è che non so come proseguire dato che è presente anche un'esponenziale.
ovviamente non deve essere un aiuto obbligatorio, rispondete e aiutate solo se potrebbe farvi piacere, grazie per lo spazio fornito.
Ecco qui l'esercizio:
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/x^2$
Ho provato a svolgerlo e ho notato subito che esso somiglia molto a un limite notevole, si differenzia da esso perchè all'interno è presente un 3x anziché solamente x. Il problema è che non so come proseguire dato che è presente anche un'esponenziale.
ovviamente non deve essere un aiuto obbligatorio, rispondete e aiutate solo se potrebbe farvi piacere, grazie per lo spazio fornito.
Ecco qui l'esercizio:
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/x^2$
Risposte
Benvenuto 
per la prossima volta, ricordati di postare il testo in LaTeX.
non ti ricorda qualcosa tipo $lim_(f(x)->0)(e^(f(x))-1)/(f(x))$ o quantomeno, di ricondurlo a tale limite?
per la prossima volta, ricordati di postare il testo in LaTeX.$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/x^2$
non ti ricorda qualcosa tipo $lim_(f(x)->0)(e^(f(x))-1)/(f(x))$ o quantomeno, di ricondurlo a tale limite?
Ciao, raycal, benvenuto nel forum.
Il regolamento del forum vieta che i testi siano allegati solo come immagini e non scritti. La prossima volta, mi raccomando, scrivi il testo.
Buona permanenza.
Il regolamento del forum vieta che i testi siano allegati solo come immagini e non scritti. La prossima volta, mi raccomando, scrivi il testo.
Buona permanenza.
"anto_zoolander":
Benvenuto
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/x^2$
non ti ricorda qualcosa tipo $lim_(f(x)->0)(e^(f(x))-1)/(f(x))$ o quantomeno, di ricondurlo a tale limite?
Mi scuso per l'errore che andava contro il regolamento, ho corretto il post.
Per quanto riguarda la tua risposta, ciò che hai suggerito mi sembra familiare, tuttavia non sono sicuro di come io debba adoperare precisamente all'interno dell'esercizio.
Ti Ringrazio per la risposta, ma sopratutto per il tempo che mi stai dedicando!
Hai mai visto un'equivalenza asintotica o quantomeno sai cosa sia? nel frattempo te lo introduco come limite notevole.
beh allora intanto mi piacerebbe che a denominatore ci fosse $1-cos(3x)$ e siccome siamo in un intorno di $0$, possiamo tranquillamente moltiplicare e dividere per $1-cos(3x)$. Lo sai, essendo in un intorno di $0$ significa che consideriamo intorni di $0$, meno lo $0$ stesso.
beh ora per il teorema del prodotto possiamo concludere che il primo limite è $1$. Ora l'altro fattore somiglia molto al limite notevole:
dunque basta moltiplicare e dividere per $9=3^2$ così da portarlo dentro il quadrato insieme alla $x$.
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/x^2$
beh allora intanto mi piacerebbe che a denominatore ci fosse $1-cos(3x)$ e siccome siamo in un intorno di $0$, possiamo tranquillamente moltiplicare e dividere per $1-cos(3x)$. Lo sai, essendo in un intorno di $0$ significa che consideriamo intorni di $0$, meno lo $0$ stesso.
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/(1-cos(3x))*(1-cos(3x))/x^2$
beh ora per il teorema del prodotto possiamo concludere che il primo limite è $1$. Ora l'altro fattore somiglia molto al limite notevole:
$lim_(f(x)->0)(1-cos(f(x)))/(f^2(x))=1/2$
dunque basta moltiplicare e dividere per $9=3^2$ così da portarlo dentro il quadrato insieme alla $x$.
$lim_(x->0)(1-cos(3x))/(3x)^2*9=9/2$
"anto_zoolander":
Hai mai visto un'equivalenza asintotica o quantomeno sai cosa sia? nel frattempo te lo introduco come limite notevole.
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/x^2$
beh allora intanto mi piacerebbe che a denominatore ci fosse $1-cos(3x)$ e siccome siamo in un intorno di $0$, possiamo tranquillamente moltiplicare e dividere per $1-cos(3x)$. Lo sai, essendo in un intorno di $0$ significa che consideriamo intorni di $0$, meno lo $0$ stesso.
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/(1-cos(3x))*(1-cos(3x))/x^2$
beh ora per il teorema del prodotto possiamo concludere che il primo limite è $1$. Ora l'altro fattore somiglia molto al limite notevole:
$lim_(f(x)->0)(1-cos(f(x)))/(f^2(x))=1/2$
dunque basta moltiplicare e dividere per $9=3^2$ così da portarlo dentro il quadrato insieme alla $x$.
$lim_(x->0)(1-cos(3x))/(3x)^2*9=9/2$
Non ho mai incontrato un equazione asintotica che io ricorda.
Sei stato molto chiaro nella spiegazione e nei passaggi.
Dunque se non ho capito male (correggimi se sbaglio) dopo utilizzi il teorema del prodotto e sostiusci al limite iniziale ottenendo come risultato finale: $9/2$ giusto?
Si utilizzo il teorema del prodotto sostanzialmente per fare
e così via. Questo perché il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, quindi posso tranquillamente staccare il tutto.
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/(1-cos(3x))*lim_(x->0)(1-cos(3x))/x^2=lim_(x->0)(1-cos(3x))/x^2$
e così via. Questo perché il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, quindi posso tranquillamente staccare il tutto.
"anto_zoolander":
Si utilizzo il teorema del prodotto sostanzialmente per fare
$lim_(x->0)(e^(1-cos(3x))-1)/(1-cos(3x))*lim_(x->0)(1-cos(3x))/x^2=lim_(x->0)(1-cos(3x))/x^2$
e così via. Questo perché il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, quindi posso tranquillamente staccare il tutto.
Perfetto, grazie mille!
Sei stato molto chiaro!
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