Esercizio invalsi

[sentinel1]

I cateti di un triangolo rettangolo sono uno i $12/5$ dell'altro e il perimetro misura $180m$. Qual è l'area del triangolo?

Non riesco a risolvere questo esercizio. Ho provato a impostare un sistema ma non so come trovare la terza incognita.

Un saluto a voi e grazie per l'aiuto.

[@melia]

Chiama il cateto maggiore $12x$, quello minore viene $5x$ (ricorda che il loro rapporto è $12/5$), con il teorema di Pitagora ti ricavi l'ipotenusa che viene $13x$, e adesso basta impostare il perimetro: $12x+5x+13x=180$, $30x=180$ da cui $x=6$, il cateto maggiore misura $12*6=72$, il cateto minore $5*6=30$ e l'ipotenusa $13*6=78$, per l'area penso che sappia arrangiarti da solo.

[sentinel1]

Lo sbaglio che commettevo era quello di considerare i tre lati (a,b,c) come incognite diverse e porle a sistema.
Adesso ho capito!

Grazie mille!!

[chiaraotta1]

Si poteva fare anche come era venuto in mente a te: se $a$ è il cateto minore, $b$ quello maggiore e $c$ l'ipotenusa, il sistema è questo:

$\{(b/a = 12/5),(c = sqrt(a^2 + b^2)),(a + b + c = 180):}$

Se dalla prima equazione ricavi $b = 12/5 * a$ e lo sostitusci nella seconda, ottieni anche $c$ in funzione di $a$: $c = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + (12/5 * a)^2) = sqrt(a^2 + 144/25 * a^2) = a sqrt(169/25) = 13/5* a$. Sostituendo $b = 12/5 * a$ e $c = 13/5 * a$ nella terza ottieni $a + 12/5 * a + 13/5 * a = 180$, da cui $(1 + 12/5 + 13/5) * a = 180$, $6 * a = 180$ e $a = 30$. Poi $b = 12/5 * a = 12/5 * 30 = 72$ e $S = 1/2 * a * b = 1/2 * 30 * 72 = 1080 m ^2$.

[sentinel1]

Ah, ecco! Nel mio sistema non avevo contemplato l'ipotenusa da trovare con il t. di pitagora e quindi riuscivo a ricavare solamente due incognite ma non la terza!!!

Grazie per il tuo intervento, chiarotta.


Ciao.