Esercizio integrali con parametri

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14 apr 2019, 13:41

Determina per quali valori di $a$ e $b$ si ha:

$\int (ax^3 -5x)/(x+b) dx = (5x^3)/3 + (5x^2)/2 + c$.

Per come è definita l'operazione di integrazione, vale che $D((5x^3)/3 + (5x^2)/2) = 5x^2 +5x = (ax^3-5x)/(x+b)$. Tuttavia questo non mi ha aiutato molto a determinare i parametri. Allora provo a risolvere l'integrale parametrico:

$\int (ax^3-5x)/(x+b) dx = \int (ax^3)/(x+b) dx - \int (5x)/(x+b) dx = a\int x^3/(x+b) dx - 5 \int x/(x+b) dx$.

Eseguo la divisione fra $x^3$ e $(x+b)$ e riscrivo la frazione:

$a\int x^3/(x+b) dx = a\int (x^2 -xb +b^2 -b^3/(x+b) dx) = 5x^2$.

Mi sembra di girovagare senza meta...

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Risposte

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14 apr 2019, 11:52

Ciao l'idea iniziale era giusta
$ \frac{d}{dx}(\frac{5x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} )= 5x^2 + 5x = \frac{ax^3-5x}{x+b} $

Ora porti il denominatore a sinistra
$ (x+b)(5x^2+5x)=ax^3-5x \Leftrightarrow 5x^3 +5x^2 + 5bx^2 +5bx = ax^3 - 5x$

Da qui puoi determinare sia $ a $ che $b $ ad occhio oppure facendo un sistema dove raggruppi i termini con lo stesso grado