Esercizio insiemistica

[Luca114]

L’insieme universo U contiene 12 elementi. A e B sono sottoinsiemi di U. A contiene 4 elementi e B ne contiene 9. Quale delle seguenti situazioni è incompatibile con i dati forniti?

A) A U B = U
B) A ∩ B ha 3 elementi
C) Nessuna
D) A ∩ B = 0
E) A U B = B

A mio parere, se A (4 elementi) e B (9 elementi) sono entrambi sottoinsiemi di U e U deve essere composto da 12 elementi, segue che A ∩ B = 1, almeno. Se A ∩ B > 1, ci saranno elementi esterni ad A e/o B facenti parte di U, per arrivare a 12 elementi totali. Da qui la D è falsa, mentre la B può essere vera. La E può essere vera (è il caso in cui A ∩ B = 4), mentre la A può essere vera, ma non sempre. Confermate dunque che la falsa è la D (ovvero la risposta da dare al quesito)?

[4131]

Se assumi che esistono [tex]B=\lbrace b_1,\dots,b_9\rbrace[/tex] e [tex]A=\lbrace a_1,\dots,a_4\rbrace[/tex] tali che [tex]A\cap B=\emptyset[/tex] allora per ogni [tex]i=1,\dots,9,j=1,\dots,4[/tex] si ha [tex]b_i\ne a_j[/tex], quindi l'insieme [tex]\mathsf{U}[/tex] dovrebbe contenere (almeno) 13 elementi distinti, il che è falso.

[Zero87]

'sera, personalmente sono d'accordo con te, @Luca, ma specifico meglio la prima per dire la mia a @413.

A e B sono sottinsiemi di U e hanno, rispettivamente, 4 e 9 elementi senza ulteriori specifiche.

$A \cup B = U$, può anche essere, non è necessariamente incompatibile, basta che hanno un solo elemento in comune. In tal caso $A \cup B $ conta 3 elementi di A, 8 elementi i B e l'elemento in comune, per un totale di 12.

Per il resto, come detto, credo che il tuo ragionamento sia giusto, Luca.

[4131]

@Zero, io stavo escludendo la risposta D, non ho mai detto che la A sia scorretta. Quindi non capisco che vuoi dirmi se [tex]A\cup B=\mathsf{U}[/tex] siccome [tex]a_1,\dots,a_4,b_1,\dots,b_9[/tex] sono 13 elementi (non necessariamente distinti), ma [tex]\mathsf{U}[/tex] ha solo 12 elementi allora come dici tu [tex]a_i=b_j[/tex] per esattamente una coppia [tex](i,j)[/tex], diciamo [tex]a_1=b_1[/tex] a meno di riordinare gli indici, allora

[tex]A\cup B=\{ a_1,\dots,a_4,b_2,\dots,b_9\}=\mathsf{U}.[/tex]

Il problema è se tutti e 13 gli elementi sono distinti, vale a dire [tex]A\cap B=\emptyset[/tex].

Forse non è chiaro che gli [tex]a_i[/tex] e i [tex]b_j[/tex] sono tra loro distinti (perché elementi di due insiemi dati), mentre a priori non è detto che [tex]a_i\ne b_j[/tex] per ogni [tex]i,j[/tex]. Questo, intendevi?

[@melia]

Il fatto è che non è possibile che gli elementi siano tutti distinti perché $U$ ha 12 elementi e $A$ ha 4 elementi e $B$ ne ha 9, entrambi sono sottoinsiemi di $U$, ma $4+9=13$.

[Zero87]

"413":Forse non è chiaro che gli [tex]a_i[/tex] e i [tex]b_j[/tex] sono tra loro distinti (perché elementi di due insiemi dati), mentre a priori non è detto che [tex]a_i\ne b_j[/tex] per ogni [tex]i,j[/tex]. Questo, intendevi?

Da come hai scritto avevo capito che avessi presupposto proprio che $a_i \ne b_j$ come ipotesi. Ho aspettato un po' per rispondere perché, viste le tue risposte precedenti (accurate!) ho pensato di aver frainteso qualcosa, ma alla fine mi sono deciso. E ho dunque frainteso io, ottimo.

[4131]

Ma no, anzi. Spesso do delle risposte abbozzate scritte dal cell. I commenti e le critiche sono sempre benvenuti