Esercizio goniometria

[Khjacchia97]

Devo dimostrare che la seguente espressione è una funzione costante di x
$ sin ^2(x+alpha )+sin^2(x+beta)-2cos(alpha-beta)sin(x+alpha)sin(x+beta) $

Non riesco a saltarci fuori Risolvendola, viene fuori una cosa mostruosa; per di più non è riconducibile a niente

Grazie in anticipo

[Khjacchia97]

Grazie mille Non avevo pensato alle formule di Werner, alla fine (dopo diversi passaggi), sono arrivata a $ sin ^2(alpha-beta) $

[giammaria2]

Aggiungo un altro metodo che mi sembra più veloce; utilizza bisezione, prostaferesi e Werner. Per comodità di scrittura e chiarezza di lettura spezzo l'esercizio in due addendi; il primo è

$sin^2(x+alpha)+sin^2(x+beta)=(1-cos(2x+2alpha))/2+(1-cos(2x+2beta))/2=$
$=(2-[cos(2x+2alpha)+cos(2x+2beta)])/2=(2-2cos(2x+alpha+beta)cos(alpha-beta))/2=$
$=1-cos(2x+alpha+beta)cos(alpha-beta)$

Ad esso va aggiunto il secondo, in cui calcolo

$-2sin(x+alpha)sin(x+beta)cos(alpha-beta)=[cos(2x+alpha+beta)-cos(alpha-beta)]cos(alpha-beta)=$
$=cos(2x+alpha+beta)cos(alpha-beta)-cos^2(alpha-beta)$

Sommando mi resta

$1-cos^2(alpha-beta)=sin^2(alpha-beta)$

[Khjacchia97]

Grazie mille a entrambi per le risoluzioni
Buone feste!!!