Esercizio Geometria
Ciao a tutti.. Questo è il mio primo post, quindi sono un pò inesperto e mi scuso in anticipo se commetto qualche errore.
L'esercizio è il seguente:
Nel triangolo ABC rettangolo in A, la bisettrice dell'angolo B interseca AC nel punto D. Sulla semiretta AB si prende il punto E in modo che CD=DE. Detta DK la distanza di D da BC, di dimostri che la bisettrice dell'angolo KDE è parallela ad AB.
L'esercizio dovrebbe essere svolto con la conoscenza del Teorema di Talete e corollari, assieme anche ad i luoghi geometrici quali bisettrice e asse di un segmento.
Ho intuito dapprima che DA=DK in quanto D punto della bisettrice dell'angolo B. Ma poi mi sono bloccato.
Addirittura sono arrivato a pensare che se la bisettrice dell'angolo KDE è parallela ad AB (chiamamola DQ) , per il secondo corollario dovrebbe essere che D e Q sono punti medi rispettivamente di AC e BC. Ma così cadrei nell'assurdo che il triangolo ADE abbia un cateto AD ed ipotenusa DE uguali. (AD=DC poichè D punto medio, ma per HP DC=DE => AD=DE)
Forse ho fatto un gran pasticcio, ma leggendo un post su come appunto scrivere un problema c'era scritto di dare una possibile interpretazione dell'esercizio.. Help me! Grazieee ^_^
L'esercizio è il seguente:
Nel triangolo ABC rettangolo in A, la bisettrice dell'angolo B interseca AC nel punto D. Sulla semiretta AB si prende il punto E in modo che CD=DE. Detta DK la distanza di D da BC, di dimostri che la bisettrice dell'angolo KDE è parallela ad AB.
L'esercizio dovrebbe essere svolto con la conoscenza del Teorema di Talete e corollari, assieme anche ad i luoghi geometrici quali bisettrice e asse di un segmento.
Ho intuito dapprima che DA=DK in quanto D punto della bisettrice dell'angolo B. Ma poi mi sono bloccato.
Addirittura sono arrivato a pensare che se la bisettrice dell'angolo KDE è parallela ad AB (chiamamola DQ) , per il secondo corollario dovrebbe essere che D e Q sono punti medi rispettivamente di AC e BC. Ma così cadrei nell'assurdo che il triangolo ADE abbia un cateto AD ed ipotenusa DE uguali. (AD=DC poichè D punto medio, ma per HP DC=DE => AD=DE)
Forse ho fatto un gran pasticcio, ma leggendo un post su come appunto scrivere un problema c'era scritto di dare una possibile interpretazione dell'esercizio.. Help me! Grazieee ^_^
Risposte
ciao e benvenuto nel forum.
(1) per i triangoli rettangoli DAE e CDK si ha: $DAE~=CDK$ ( 2 cateti congruenti )
(2) $AhatDE+EhatDQ+QhatDK+KhatDC$ è un angolo piatto
(3) essendo poi $KhatDQ~=QhatDE$ (per ip.) e $AhatDE~=ChatDK$ per dim. (1) $=>AhatDE+EhatDQ=90°$
$=>$ AB // DQ (infatti sono entrambi perpendicolari ad AC)
"xmirkox89":
Ho intuito dapprima che DA=DK in quanto D punto della bisettrice dell'angolo B. Ma poi mi sono bloccato.
(1) per i triangoli rettangoli DAE e CDK si ha: $DAE~=CDK$ ( 2 cateti congruenti )
(2) $AhatDE+EhatDQ+QhatDK+KhatDC$ è un angolo piatto
(3) essendo poi $KhatDQ~=QhatDE$ (per ip.) e $AhatDE~=ChatDK$ per dim. (1) $=>AhatDE+EhatDQ=90°$
$=>$ AB // DQ (infatti sono entrambi perpendicolari ad AC)
se non ho sbagliato la figura, nella dimostrazione precedente c'è un errore
infatti i triangoli DAE e CDK sono congruenti non perchè hanno congruenti i due cateti, ma perchè hanno congruenti un cateto e l'ipotenusa ; infatti $AD~=DK$ cateti, ma $DE~=DC$ ipotenuse
Da qui si deduce la congruenza degli angoli $AhatDE$ e $ChatDK$, e quindi il resto della dimostrazione è corretto
infatti i triangoli DAE e CDK sono congruenti non perchè hanno congruenti i due cateti, ma perchè hanno congruenti un cateto e l'ipotenusa ; infatti $AD~=DK$ cateti, ma $DE~=DC$ ipotenuse
Da qui si deduce la congruenza degli angoli $AhatDE$ e $ChatDK$, e quindi il resto della dimostrazione è corretto
Grazie per la tempestività.
Mi è tutto chiaro fino all'ultimo passaggio. Assodato che la somma dei 4 angoli è di 180° e che sono uguali a due a due (cioè i due angoli esterni ovvero ADE e KDC , ed i due interni EDQ e QDK). Ora sfruttando la congruenza dei due triangoli esterni, come arrivo a dire che la somma di uno esterno ed uno interno è 90°??
Scusate se forse sono poco chiare, ma non riesco a nominare gli angoli con il loro simbolo
Mi è tutto chiaro fino all'ultimo passaggio. Assodato che la somma dei 4 angoli è di 180° e che sono uguali a due a due (cioè i due angoli esterni ovvero ADE e KDC , ed i due interni EDQ e QDK). Ora sfruttando la congruenza dei due triangoli esterni, come arrivo a dire che la somma di uno esterno ed uno interno è 90°??
Scusate se forse sono poco chiare, ma non riesco a nominare gli angoli con il loro simbolo
@Nicole93:
vero, un cateto e l'ipotenusa
simbolicamente possiamo scrivere:
$alpha+beta+alpha+beta=180°$
$2*alpha+2*beta=180°$
$alpha+beta=90°$
vero, un cateto e l'ipotenusa
"xmirkox89":
Mi è tutto chiaro fino all'ultimo passaggio. Assodato che la somma dei 4 angoli è di 180° e che sono uguali a due a due [...]come arrivo a dire che la somma di uno esterno ed uno interno è 90°??
simbolicamente possiamo scrivere:
$alpha+beta+alpha+beta=180°$
$2*alpha+2*beta=180°$
$alpha+beta=90°$
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