Esercizio funzione logaritmica

[hubble1]

Ciao a tutti

Chiedo il vostro aiuto per risolvere questo problema:

data la funzione f(x)=ln 1-x/1+x, verifica che per ogni α,β E(-1,+1) risulta: f(α) + f(β)= f(α+β/1+αβ)

So che α,β sono due costanti e che vanno sostituite a x ma in quel caso verrebbe fuori un logaritmo impossibile.

[axpgn]

Sarebbe così ?

$f(x)=ln((1-x)/(1+x))$


$f(alpha)+f(beta)=f((alpha+beta)/(1+alpha*beta))$

[hubble1]

Si, dallo smartphone non riesco a scriverla.

[axpgn]

Basta sostituire ...

[hubble1]

Non capisco... Devo sostituire α a x prima e dopo β a x quindi y=ln 1-1/1+1 e y=ln 1-(-1)/1+1
Mi sembra sbagliato

[axpgn]

Scusami ma secondo te cosa significa $f(alpha)$ data quella $f(x)$ ?
Scrivimelo ...

[hubble1]

F(α) = ln 1-(-1)/1+(-1)

[axpgn]

Ma da dove esce quel numero $1$?
Me lo spieghi?

$f(alpha)=ln((1-alpha)/(1+alpha))$

E poi lo fai con $beta$ , e poi con l'altra ... e dopo qualche passaggio algebrico, vedrai che l'identità è verificata

[hubble1]

Ah si adesso ho capito.
Avevo frainteso il simbolo appartiene. Ma in effetti perché mi dice che appartiene a ( -1,1)?

[axpgn]

Campo di esistenza ti dice niente?

[hubble1]

Eh si certo. Ma non riesco proprio a capire come si arrivi al risultato. Facendo f(a) + F(b) viene $ ln (1-a)/(1-b) + ln(1-b)/(1+b) $ giusto? poi come devo andare avanti?

[axpgn]

E l'altro membro dell'identità?
Se ti è più comodo poni $t=(alpha+beta)/(1+alpha*beta)$, determina $f(t)$ e poi risostituisci ... dopo qualche passaggio algebrico arriverai all'identità ...

Per la precisione è $f(alpha) + f(beta)= ln ((1-alpha)/(1+alpha)) + ln((1-beta)/(1+beta))$

[hubble1]

Ok grazie