Esercizio fascio di parabole
1) Studia il fascio di parabole di equazione $y=kx^2 -2x(4k-1)+ 16k -7$.
2)Tra le parabole del fascio individua quella tangente all'asse delle ascisse e indica con $A$ il suo punto di intersezione con l'asse delle ordinate.
3) Nell'arco di parabola di estremi $A$ e $B$, dove $B$ è il punto base del fascio dato, individua i punti che formano con $AB$ un triangolo di area $6$.
RISOLVO
1) Le parabole generatrici sono:
a) $y=2x-7$
b) $x=4$
ossia parabole degeneri.
Il loro punto di intersezione è $P (4;1)$.
2) La parabola tangente all'asse delle ascisse ha equazione $y=x^2-6x+9$; il punto $A$, intersezione della parabola con l'asse delle ordinate, ha coordinate $A(0;9)$
3) Considero i punti $A(0;9)$ e $B(4;1)$; la loro distanza è $AB=sqrt(80)$. Quindi sto cercando un (o più) punto $Q (x;y)$ tale che abbia distanza con la retta $AB$ pari a $(sqrt(80) * Q)/2 =6 $, perciò $Q$ deve avere distanza da $AB$ pari a $(3*sqrt(80))/20$.
Questo però non mi ha aiutato molto a trovare le coordinate di $Q$, quindi ho considerato l'area del segmento parabolico $AB$. La retta tangente al segmento parabolico $AB$ ha equazione $y= -2x +5$ e l'area del rettangolo $ABB'A'$, dove $A'$ e $B'$ sono le proiezioni di $A$ e $B$ sulla retta $y=-2x+5$, è $16$. Quindi l'area del segmento parabolico è $32/3$.
Però sono ancora in difficoltà a trovare le coordinate di $Q$.
Consigli?
2)Tra le parabole del fascio individua quella tangente all'asse delle ascisse e indica con $A$ il suo punto di intersezione con l'asse delle ordinate.
3) Nell'arco di parabola di estremi $A$ e $B$, dove $B$ è il punto base del fascio dato, individua i punti che formano con $AB$ un triangolo di area $6$.
RISOLVO
1) Le parabole generatrici sono:
a) $y=2x-7$
b) $x=4$
ossia parabole degeneri.
Il loro punto di intersezione è $P (4;1)$.
2) La parabola tangente all'asse delle ascisse ha equazione $y=x^2-6x+9$; il punto $A$, intersezione della parabola con l'asse delle ordinate, ha coordinate $A(0;9)$
3) Considero i punti $A(0;9)$ e $B(4;1)$; la loro distanza è $AB=sqrt(80)$. Quindi sto cercando un (o più) punto $Q (x;y)$ tale che abbia distanza con la retta $AB$ pari a $(sqrt(80) * Q)/2 =6 $, perciò $Q$ deve avere distanza da $AB$ pari a $(3*sqrt(80))/20$.
Questo però non mi ha aiutato molto a trovare le coordinate di $Q$, quindi ho considerato l'area del segmento parabolico $AB$. La retta tangente al segmento parabolico $AB$ ha equazione $y= -2x +5$ e l'area del rettangolo $ABB'A'$, dove $A'$ e $B'$ sono le proiezioni di $A$ e $B$ sulla retta $y=-2x+5$, è $16$. Quindi l'area del segmento parabolico è $32/3$.
Però sono ancora in difficoltà a trovare le coordinate di $Q$.
Consigli?
Risposte
Per risolvere il problema sto considerando l'arco di parabola $AB$ e la retta $AB$ di equazione $y=-2x+9$ e mi sto chiedendo: quali sono i punti dell'arco $AB$ tali che abbiano distanza dalla retta $AB$ uguale a $(3*sqrt(80))/20$?
Però non ne esco uguale, perché se considerassi la formula della distanza di un punto da una retta avrei comunque due incognite, date dalle coordinate di $Q$.
AGGIORNO:
l'unico metodo (brutto) che ho trovato per risolvere il problema è risolvere il sistema:
$(|2x_0 + y_0 - 9|)/ sqrt(5) = (3*sqrt(5))/5$
$x_0 <= 4$
$y_0 <= 9$
$y_0 = (x_0)^2 - 6*x_0 + 9$
dove $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate del punto $Q$ e le disequazioni rappresentano le condizioni affinché si possa considerare soltanto l'arco di parabola $AB$. E quindi, andando a tentativi, trovo che i punti che soddisfano la prima equazione sono $Q(1;4)$ e $Q'(3;0)$
Però non ne esco uguale, perché se considerassi la formula della distanza di un punto da una retta avrei comunque due incognite, date dalle coordinate di $Q$.
AGGIORNO:
l'unico metodo (brutto) che ho trovato per risolvere il problema è risolvere il sistema:
$(|2x_0 + y_0 - 9|)/ sqrt(5) = (3*sqrt(5))/5$
$x_0 <= 4$
$y_0 <= 9$
$y_0 = (x_0)^2 - 6*x_0 + 9$
dove $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate del punto $Q$ e le disequazioni rappresentano le condizioni affinché si possa considerare soltanto l'arco di parabola $AB$. E quindi, andando a tentativi, trovo che i punti che soddisfano la prima equazione sono $Q(1;4)$ e $Q'(3;0)$
Io la risolverei in modo del tutto diverso.
Perché la parabola del fascio sia tangente all'asse $x$, il sistema tra la generica
$y=kx^2 -2(4k-1)x +16k-7$ e l'asse $x$, cioè
$y=0$
deve avere l'equazione risolvente con $\Delta=0$
Ponendo questa condizione si giunge facilmente alla parabola
$y=(x-3)^2$ o $y=x^2 -6x +9$ che dir si voglia.
Questa interseca l'asse $y$ in $A(0,9)$ e l'asse $x$ in $B(3,0)$
Ora calcolerei la distanza tra $A$ e $B$, che fungerà da base per il mio triangolo, e che, dopo facili calcoli, risulta $AB=3\sqrt10$
Il terzo vertice del triangolo, per appartenere all'arco $AB$, deve avere coordinate $C(x_0, (x_0 -3)^2)$, con $0
La distanza tra questo punto e la retta $AB$, di equazione anch'essa facilmente ricavabile $y=-3x +9$, si può calcolare con la formula un po' pallosa $d=|y_p - (mx_p +q)|/\sqrt(1+m^2)$ e si ottiene che vale $d=4/\sqrt10$
Ora mi basta calcolare l'area del triangolo ($(3\sqrt10*(4/\sqrt10))/2$) e porla uguale a $6$ come richiesto.
Si ottiene una equazione di 2° grado le cui soluzioni (occhio che con i calcoli sono una sega) sono $C_1(-1,16)$ e $C_2(4,1)$. Si noti che nessuno dei punti appartiene all'arco $AB$.
PS: sempre che abbia capito correttamente le richieste del problema………………….
Cordialmente.
Marco
Perché la parabola del fascio sia tangente all'asse $x$, il sistema tra la generica
$y=kx^2 -2(4k-1)x +16k-7$ e l'asse $x$, cioè
$y=0$
deve avere l'equazione risolvente con $\Delta=0$
Ponendo questa condizione si giunge facilmente alla parabola
$y=(x-3)^2$ o $y=x^2 -6x +9$ che dir si voglia.
Questa interseca l'asse $y$ in $A(0,9)$ e l'asse $x$ in $B(3,0)$
Ora calcolerei la distanza tra $A$ e $B$, che fungerà da base per il mio triangolo, e che, dopo facili calcoli, risulta $AB=3\sqrt10$
Il terzo vertice del triangolo, per appartenere all'arco $AB$, deve avere coordinate $C(x_0, (x_0 -3)^2)$, con $0
La distanza tra questo punto e la retta $AB$, di equazione anch'essa facilmente ricavabile $y=-3x +9$, si può calcolare con la formula un po' pallosa $d=|y_p - (mx_p +q)|/\sqrt(1+m^2)$ e si ottiene che vale $d=4/\sqrt10$
Ora mi basta calcolare l'area del triangolo ($(3\sqrt10*(4/\sqrt10))/2$) e porla uguale a $6$ come richiesto.
Si ottiene una equazione di 2° grado le cui soluzioni (occhio che con i calcoli sono una sega) sono $C_1(-1,16)$ e $C_2(4,1)$. Si noti che nessuno dei punti appartiene all'arco $AB$.
PS: sempre che abbia capito correttamente le richieste del problema………………….
Cordialmente.
Marco
Intanto grazie per l'intervento.
La distanza tra $A$ e $B$ è $sqrt(80)$ però. Difatti le mie soluzioni sono corrette, benché il mio metodo non mi soddisfi molto. Comunque il tuo procedimento è speculare al mio fino al calcolo della distanza tra $A$ e $B$; più tardi mi ritaglierò un po' di tempo e proverò a risolverlo con gli spunti che mi hai dato.
La distanza tra $A$ e $B$ è $sqrt(80)$ però. Difatti le mie soluzioni sono corrette, benché il mio metodo non mi soddisfi molto. Comunque il tuo procedimento è speculare al mio fino al calcolo della distanza tra $A$ e $B$; più tardi mi ritaglierò un po' di tempo e proverò a risolverlo con gli spunti che mi hai dato.
Non vedo alcuna specularità nei metodi che abbiamo utilizzato. Per essere rigorosi (e noiosi), si potrebbe studiare l'equazione parametrica della parabola con il vecchio ma sempre valido metodo di Tartenville, per avere una idea propedeutica del problema che si sta affrontando.
Comunque, a questo punto del campionato, forse il problema sta nel fatto che la distanza AB è
$d=3\sqrt10$ e non $\sqrt80$ come affermi.
Basta che ti ritagli il tempo per applicare il teorema di Pitagora al triangolo $AOB$ per verificarlo.
PS: anche l'equazione della retta $AB$ è toppata, perché non è $y=-2x+9$ bensì $y=-3x+9$
Ciao.
Comunque, a questo punto del campionato, forse il problema sta nel fatto che la distanza AB è
$d=3\sqrt10$ e non $\sqrt80$ come affermi.
Basta che ti ritagli il tempo per applicare il teorema di Pitagora al triangolo $AOB$ per verificarlo.
PS: anche l'equazione della retta $AB$ è toppata, perché non è $y=-2x+9$ bensì $y=-3x+9$
Ciao.
La distanza AB non può venirvi uguale perché HowardRoark ha chiamato B il punto comune a tutte le parabole del fascio, che è $(4,1)$, mentre teorema55 ha chiamato B l'intersezione con l'asse x, cioè $(3, 0)$.
Il punto B del problema era $(4,1)$.
Inoltre mi trovo un po' in difficoltà a decifrare il linguaggio di HowardRoark. Ad esempio che cosa significa $(sqrt(80) * Q)/2 =6$, se $Q$ è un punto la moltiplicazione tra un punto e un numero che cos'è? Oppure
Che cosa significa? Io conosco rette tangenti in un punto a una parabola (o a un segmento parabolico), ma una generica retta tangente a una parabola deve contenere almeno un parametro.
Ricapitolando
Ci sono i punti A e B appartenenti alla parabola che individuano un segmento parabolico, bisogna trovare i punti Q appartenenti al segmento parabolico in modo che il triangolo ABQ abbia area 6.
Bisogna trovare i punti Q appartenenti alla parabola, quindi del tipo $(x_0, x_0^2-6x_0+9)$ con $0<=x_0<=4$, tali che il semiprodotto tra la loro distanza dalla retta AB e la lunghezza del segmento AB valga 6.
La distanza di Q dalla retta AB viene $|x_0^2-4x_0|/sqrt5$
$bar(AB)=sqrt80$
L'equazione che si ottiene è $|x_0^2-4x_0|/sqrt5*sqrt80*1/2=6$ facendo un po' di calcoli si arriva a $|x_0^2-4x_0|=3$, risolvendo l'equazione modulare si ottengono
$x_1 = 1$ e $x_2 =3$ entrambe accettabili perché appartengono all'intervallo $[0, 4]$ condizioni di appartenenza al segmento parabolico e quindi generano punti Q interni al segmento parabolico;
$x_(3,4) = 2+- sqrt7$ entrambe non accettabili perché corrispondono a dei punti della parabola esterni al segmento parabolico, per la precisione le due ultime soluzioni ottenute NON soddisfano le condizioni sulla $x_0$ cioè $0<=x_0<=4$
Il punto B del problema era $(4,1)$.
Inoltre mi trovo un po' in difficoltà a decifrare il linguaggio di HowardRoark. Ad esempio che cosa significa $(sqrt(80) * Q)/2 =6$, se $Q$ è un punto la moltiplicazione tra un punto e un numero che cos'è? Oppure
La retta tangente al segmento parabolico AB ha equazione ...
Che cosa significa? Io conosco rette tangenti in un punto a una parabola (o a un segmento parabolico), ma una generica retta tangente a una parabola deve contenere almeno un parametro.
Ricapitolando
Ci sono i punti A e B appartenenti alla parabola che individuano un segmento parabolico, bisogna trovare i punti Q appartenenti al segmento parabolico in modo che il triangolo ABQ abbia area 6.
Bisogna trovare i punti Q appartenenti alla parabola, quindi del tipo $(x_0, x_0^2-6x_0+9)$ con $0<=x_0<=4$, tali che il semiprodotto tra la loro distanza dalla retta AB e la lunghezza del segmento AB valga 6.
La distanza di Q dalla retta AB viene $|x_0^2-4x_0|/sqrt5$
$bar(AB)=sqrt80$
L'equazione che si ottiene è $|x_0^2-4x_0|/sqrt5*sqrt80*1/2=6$ facendo un po' di calcoli si arriva a $|x_0^2-4x_0|=3$, risolvendo l'equazione modulare si ottengono
$x_1 = 1$ e $x_2 =3$ entrambe accettabili perché appartengono all'intervallo $[0, 4]$ condizioni di appartenenza al segmento parabolico e quindi generano punti Q interni al segmento parabolico;
$x_(3,4) = 2+- sqrt7$ entrambe non accettabili perché corrispondono a dei punti della parabola esterni al segmento parabolico, per la precisione le due ultime soluzioni ottenute NON soddisfano le condizioni sulla $x_0$ cioè $0<=x_0<=4$
@Melia sì, hai perfettamente ragione, ho scritto proprio male. Però il mio procedimento credo fosse corretto, perché alla fine sono giunto ai risultati esatti. Provo a spiegarmi meglio:
a) $(sqrt(80) * Q)/2 = 6$ non significa nulla; con quel $Q$ volevo intendere la distanza fra $Q$ e la retta $AB$, che rappresenta l'altezza del triangolo con area $6$. Volevo risolvermi l'equazione di primo grado per trovarmi appunto l'altezza del triangolo.
b) La retta tangente al segmento parabolico che ho trovato, ovvero $y=-2x+5$, ha anche come condizione che è parallela alla retta che passa per $AB$, quindi è determinata univocamente. Avrei dovuto essere più chiaro, però poi ho anche applicato il teorema di Archimede e ho aggiunto che $ABB'A'$ fosse un rettangolo, quindi credevo fosse implicito che stessi considerando la retta parallela ad $AB$.
Vedendo il tuo procedimento mi sono anche ricordato perché ho provato a trovare la distanza di $Q$ da $AB$ con la formula dell'area del triangolo. Infatti precedentemente avevo calcolato la distanza di $Q$ da $AB$ così: $d=(|2x_0+y_0-9|)/sqrt(5)$. Sostanzialmente non avevo considerato che $Q$ dovesse avere coordinate $(x_0; x_0^2-6x_0+9)$.
a) $(sqrt(80) * Q)/2 = 6$ non significa nulla; con quel $Q$ volevo intendere la distanza fra $Q$ e la retta $AB$, che rappresenta l'altezza del triangolo con area $6$. Volevo risolvermi l'equazione di primo grado per trovarmi appunto l'altezza del triangolo.
b) La retta tangente al segmento parabolico che ho trovato, ovvero $y=-2x+5$, ha anche come condizione che è parallela alla retta che passa per $AB$, quindi è determinata univocamente. Avrei dovuto essere più chiaro, però poi ho anche applicato il teorema di Archimede e ho aggiunto che $ABB'A'$ fosse un rettangolo, quindi credevo fosse implicito che stessi considerando la retta parallela ad $AB$.
Vedendo il tuo procedimento mi sono anche ricordato perché ho provato a trovare la distanza di $Q$ da $AB$ con la formula dell'area del triangolo. Infatti precedentemente avevo calcolato la distanza di $Q$ da $AB$ così: $d=(|2x_0+y_0-9|)/sqrt(5)$. Sostanzialmente non avevo considerato che $Q$ dovesse avere coordinate $(x_0; x_0^2-6x_0+9)$.
Capisco tutto quello che dici, ho voluto sottolineare i tuoi errori di comunicazione perché mi spiace che un grande impegno e un'applicazione con discreti risultati siano parzialmente vanificati da superficialità di comunicazione.
Infatti hai fatto benissimo, e ti ringrazio per avermi fatto notare i miei errori. 
Ho preso fischi per fiaschi bell'individuare il fascio di parabole.
Stando così le cose, basta scambiare $B$ con $C$ per ottenere la (mia) soluzione corretta. Solo che, nella soluzione corretta, penso che i punti che soddisfano le condizioni siano due…………….
Stando così le cose, basta scambiare $B$ con $C$ per ottenere la (mia) soluzione corretta. Solo che, nella soluzione corretta, penso che i punti che soddisfano le condizioni siano due…………….
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