Esercizio disequazione irrazionale
ciao a tutti!!!
ho questa disequazione da risolvere:
$ root(3)(x+x^2) <= root(2)(1/2x) $
non sono molto sicura sul come risolverla... io ho tentato questa strada:
- elevo alla 3 e mi rimane
$ x+x^2<=(root2 (1/2x))^3 $
- dato che la radice si può scrivere come potenza, allora:
$ ((1/2x)^(1/2))^3 $
- risolvo la potenza di potenza:
$ (1/2x)^(3/2) $
- dunque mi rimane:
$ x+x^2<= (1/2x)^(3/2) $
arrivata a questo punto non so come andare avanti e non so neanche se sono giusti i passaggi ;(
ho questa disequazione da risolvere:
$ root(3)(x+x^2) <= root(2)(1/2x) $
non sono molto sicura sul come risolverla... io ho tentato questa strada:
- elevo alla 3 e mi rimane
$ x+x^2<=(root2 (1/2x))^3 $
- dato che la radice si può scrivere come potenza, allora:
$ ((1/2x)^(1/2))^3 $
- risolvo la potenza di potenza:
$ (1/2x)^(3/2) $
- dunque mi rimane:
$ x+x^2<= (1/2x)^(3/2) $
arrivata a questo punto non so come andare avanti e non so neanche se sono giusti i passaggi ;(
Risposte
Ciao
premetto che la mia risposta probabilmente non ti sará di molto conforto
guardando la tua disequazione, non viene in mente un metodo analitico per risolverla
ho peró provato a fare due ragionamenti
partiamo dall'ultima forma che tu hai trovato (tra l'altro i passaggi che hai fatto mi sembrano corretti)
e analizziamo le due parti a sinistra e a destra dell'uguale separatamente
a sinistra hai
$y=x^2+x=x(x+1)$
che altro non é che una parabola rivolta verso l'alto che interseca l'asse $x$ nei valori $x=-1$ e $x=0$
a destra dell'uguale invece hai
$y=sqrt((1/2x)^3)$
essendo questa una radice, come condizioni di esistenza hai che l'argomento deve essere maggiore o uguale a zero
dentro la radice hai una potenza con esponente dispari quindi il risultato della ponteza sará positivo solo quando $1/2x >= 0$
questo ci fa capire che le due curve hanno almeno un punto in comune ovvero $x=0$
a questo punto sono andato a farmi il grafico di entrambe le funzioni e ho notato che $y=x^2+x$ é sempre maggiore di $y=sqrt((1/2x)^3)$
nel senso che graficamente si trova sempre piú in alto rispetto all'altra, quindi i suoi valori sono sempre maggiori
tranne che nel punto $x=0$ dove coincidono come abbiamo giá visto prima
essendo la tua disequazione di partenza
$x^2+x<=sqrt((1/2x)^3)$
direi che hai un'unica soluzione ovvero $x=0$
penso che il mio ragionamento torni anche se l'ho elaborato in modo piú "grafico" che analitico
premetto che la mia risposta probabilmente non ti sará di molto conforto
guardando la tua disequazione, non viene in mente un metodo analitico per risolverla
ho peró provato a fare due ragionamenti
partiamo dall'ultima forma che tu hai trovato (tra l'altro i passaggi che hai fatto mi sembrano corretti)
e analizziamo le due parti a sinistra e a destra dell'uguale separatamente
a sinistra hai
$y=x^2+x=x(x+1)$
che altro non é che una parabola rivolta verso l'alto che interseca l'asse $x$ nei valori $x=-1$ e $x=0$
a destra dell'uguale invece hai
$y=sqrt((1/2x)^3)$
essendo questa una radice, come condizioni di esistenza hai che l'argomento deve essere maggiore o uguale a zero
dentro la radice hai una potenza con esponente dispari quindi il risultato della ponteza sará positivo solo quando $1/2x >= 0$
questo ci fa capire che le due curve hanno almeno un punto in comune ovvero $x=0$
a questo punto sono andato a farmi il grafico di entrambe le funzioni e ho notato che $y=x^2+x$ é sempre maggiore di $y=sqrt((1/2x)^3)$
nel senso che graficamente si trova sempre piú in alto rispetto all'altra, quindi i suoi valori sono sempre maggiori
tranne che nel punto $x=0$ dove coincidono come abbiamo giá visto prima
essendo la tua disequazione di partenza
$x^2+x<=sqrt((1/2x)^3)$
direi che hai un'unica soluzione ovvero $x=0$
penso che il mio ragionamento torni anche se l'ho elaborato in modo piú "grafico" che analitico
"awa_88":
ciao a tutti!!!
ho questa disequazione da risolvere:
$ root(3)(x+x^2) <= root(2)(1/2x) $
Benvenuta al forum - vedo che è il tuo primo messaggio - e buona permanenza. Secondo me è un post adatto alla sezione della secondaria di secondo grado o di quella di analisi poiché mi sembra una disequazione irrazionale e basta (questo non vuol dire che è semplice, dico in generale il tipo di problema).
"awa_88":
- elevo alla 3 e mi rimane
$ x+x^2<=(root2 (1/2x))^3 $
Ottimo, la radice terza non dà problemi, per il resto ripartiamo da qui.
RIngrazio Summerwind perché ho notato una svista (ho messo la $x$ al denominatore nel radicando, ma così non è!)
Allora, si tratta di un'equazione fratta la cui soluzione è unione di due soluzioni
${ ( x\ge 0),(x+x^2 \le 0):}$
e
${ (x\ge 0),(x+x^2 \ge 0),((x+x^2)^2 \le 1/8 x^3):}$
Si può notare banalmente che il primo ha solo $x=0$ come soluzione - teniamocelo a mente, comunque! -, quindi passiamo al secondo. Specifico che la condizione $x\ge 0$ è quella che mi garantisce l'esistenza del radicando.
Nel secondo sistema possiamo notare che se $x\ge 0$ allora $x+x^2\ge 0$ quindi $x+x^2 \ge 0$ possiamo tranquillamente toglierla perché $x\ge 0$ è più restrittiva. Ci sarebbe da discutere, ma lasciamo da parte le discussioni tecniche in favore dell'intuizione (casomai ci ripassiamo dopo se il problema è qui).
Abbiamo
${ (x\ge 0),((x+x^2)^2 \le 1/8 x^3):}$
Il problema è la seconda disequazione: consideriamola separatamente.
$x^2(1+x)^2 \le 1/8 x^3$
cioè
$x^4+2x^3+x^2 \le 1/8 x^3$
e dunque
$x^4+15/8 x^3 +x^2 \le 0$
cioè
$x^2(x^2+15/8 x+1) \le 0$
Si può studiare con lo studio del segno con tranquillità ed è la strada che consiglio, ma per advanced users
, possiamo notare che per $x> 0$, quella disequazione assume sempre valori positivi poiché è un prodotto tra una quantità positiva e una somma di quantità positive (siamo nel caso $x>0$).Quindi l'unica soluzione è $x=0$ che soddisfa la prima disequazione e la seconda come equazioni (cioè vale "l'uguale" nel "minore/maggiore uguale").
Ringrazio ancora Summerwind78 perché avevo letto $\sqrt((1/(2x))^3)$ invece di $\sqrt((1/2 x)^3)$!
"Zero87":
La tua disequazione è
$x+x^2 \le \sqrt((1/(2x))^3)$
non penso fosse cosí, $x$ prima era al numeratore
"Zero87":
La tua disequazione è
$(1/(2x))^3\ge 0$ per l'esistenza del radicale, dunque $x> 0$ (la $x$ sta al denominatore e occorre escludere $x=0$).
non mi pare tu debba escludere $x=0$ infatti credo sia l'unica soluzione possibile, ma potrei sbagliare
"Summerwind78":
[quote="Zero87"]
La tua disequazione è
$x+x^2 \le \sqrt((1/(2x))^3)$
non penso fosse cosí, $x$ prima era al numeratore[/quote]
Trattasi di svista personale, ma ho corretto leggendo il tuo intervento: te ne sono grato per la segnalazione!
grazie mille!!
ottima spiegazione
ottima spiegazione
Di solito, dopo aver determinato le condizioni di esistenza dei radicali ed aver scremato un po' di casi, per eliminare le radici si elevano ambo i membri a potenza prendendo come esponente il mcm degli indici delle radici.
Nel caso in esame, le condizioni di esistenza impongono \(x\geq 0\).
Il mcm è \(6\), quindi la tua equazione è equivalente a:
\[
(x+x^2)^2\leq \frac{1}{8}\ x^3
\]
ossia:
\[
x^2\ \left((1+x)^2 - \frac{1}{8}\ x\right)\leq 0\; .
\]
Dato che \(x^2\geq 0\), è evidente che la disequazione è soddisfatta solo se \(x=0\) oppure se:
\[
(1+x)^2 - \frac{1}{8}\ x\leq 0
\]
quindi basta risolvere una disequazione di secondo grado.
Nel caso in esame, le condizioni di esistenza impongono \(x\geq 0\).
Il mcm è \(6\), quindi la tua equazione è equivalente a:
\[
(x+x^2)^2\leq \frac{1}{8}\ x^3
\]
ossia:
\[
x^2\ \left((1+x)^2 - \frac{1}{8}\ x\right)\leq 0\; .
\]
Dato che \(x^2\geq 0\), è evidente che la disequazione è soddisfatta solo se \(x=0\) oppure se:
\[
(1+x)^2 - \frac{1}{8}\ x\leq 0
\]
quindi basta risolvere una disequazione di secondo grado.
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