Esercizio di trigonometria sui limiti

[driver_458]

Considerato un punto P sulla semicirconferenza di diametro AB=2r, detta x l'ampiezza dell'angolo PAB, determinare il limite per $x->0$ del rapporto tra le superfici dei solidi generati dal segmento AP e dall'arco PB in una rotazione completa attorno ad AB.

Il primo solido dovrebbe essere un cono, il secondo una sfera, ma di quest'ultimo non ne sono così sicuro... Si potrebbe vedere la rappresentazione di questi solidi?

[giammaria2]

Fai bene a non essere sicuro: il secondo è una calotta sferica. Non sono abbastanza in gamba da mandarti una figura, ma ti spiego come fartela da solo; cerco di darti regole generali, che possano servirti anche in altri esercizi.
Per dare l'idea della rotazione, si disegna il simmetrico rispetto all'asse di rotazione di ogni elemento che interessa: disegnerai quindi anche P', simmetrico di P rispetto ad AB, l'altra mezza circonferenza e il segmento AP'. Ogni punto viene poi congiunto col suo simmetrico con un'ellisse molto schiacciata, che dia l'idea di un cerchio visto in prospettiva; nel tuo caso, lo fai con P e P'. A questo punto vedi bene sia il cono che la calotta; quest'ultima è più chiara se P è vicino più a B che ad A.

[driver_458]

e sapendo che in un calotta sferica la superficie è uguale a $2piRh$, R è il raggio della semicirconferenza?

[giammaria2]

Sì.