Esercizio di trigonometria.

[barbara91]

Ciao a tutti.
Non riesco assolutamente a risolvere un esercizio di trigonometria per domani.
Vi prego aiutatemi.
Manuale blu di matematica – Zanichelli – Volume 3.
Esercizio pag.132 nr. 205

La trigonometria:

In un trapezio scaleno ABCD le basi misurano: AB= 5√3 +21 e CD= 9. Sapendo che l’angolo in B è 60° e che cos D= - 5/13 calcola la lunghezza dei lati obliqui.

[Risposta= 24; 13 • √3]

[ciampax]

Consideriamo la figura. Chiamiamo

[math]\delta=A\hat{D} K[/math]

così che

[math]-\frac{5}{13}=\cos\left(\pi/2+\delta\right)=-\sin\delta[/math]

Ora essendo l'angolo in B pari a

[math]\pi/3[/math]

segue che il lato BC è pari al doppio del segmento BH (poiché il triangolo BCH risulta la metà di un triangolo equilatero). Se indichiamo con

[math]a=BC[/math]

, e con

[math]CH=DK=h[/math]

l'altezza del trapezio abbiamo la relazione

[math]h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a[/math]

Indichiamo poi con

[math]b=DA[/math]

. Poiché tale lato rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo ADK, ne seguono le due relazioni

[math]AK=b\cdot\sin\delta=\frac{5b}{13},\qquad h=b\cdot\cos\delta=b\cdot\sqrt{1-\sin^2\delta}=\frac{12 b}{13}[/math]

A questo punto, poiché

[math]AK+KH+HB=AK+HB+CD=AB[/math]

ricaviamo l'ulteriore equazione

[math]AK+\frac{a}{2}=AB-CD=5\sqrt{3}+12[/math]

Allora abbiamo il sistema, chiamando

[math]\ell=AK[/math]

[math]\left\{\begin{array}{lcl}
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a\\
\ell=\frac{5b}{13}\\
h=\frac{12 b}{13}\\
\ell+\frac{a}{2}=5\sqrt{3}+12
\end{array}\right.[/math]

Se ricaviamo tutto in funzione di b otteniamo

[math]\ell=\frac{5b}{13}\qquad h=\frac{12 b}{13}\qquad \frac{a}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} h=\frac{12 b}{13\sqrt{3}}[/math]

da cui sostituendo nell'ultima

[math]\frac{5b}{13}+\frac{12 b}{13\sqrt{3}}=5\sqrt{3}+12\Longrightarrow b=13\sqrt{3}[/math]

e

[math]a=24[/math]

.