Esercizio di ricapitolazione su limiti, derivate, integrali.
Problema abbastanza tosto. Gradirei una mano nello svolgimento.
Dopo aver ricordato il teorema di Rolle, dire se alla funzione
$ f(x)= ( ( xlogx^2 , per x != 0 ),( 0 , per x=0 ) ) $
considerata nell'intervallo [-1;1] è possibile calcolare il teorema sopra nominato. E negli intervalli [-1;0] e [0;1]?
In caso affermativo determinare i punti x in cui f'(x) = 0. Dire, inoltre, se esiste l'integrale
$ int_(-1)^(1) f(x)dx $
e calcolarne il valore. Giustificare tutte le risposte.
Bene, procediamo dal primo punto. La funzione a -1 e 1 assume lo stesso valore ma mi risulta essere zero, ma lì dice che è zero solo per x = 0, quindi già qui mi sono fermato, che faccio, applico la derivata? Ci ho provato e mi risulta $ logx^2 + 2 $ però non posso porla uguale a zero come vuole il teorema di Rolle! Quindi o non è applicabile oppure ho sbagliato qualcosa.
Forse se mi viene spiegato meglio come devo iniziare magari riuscirò ad andare avanti...
Dopo aver ricordato il teorema di Rolle, dire se alla funzione
$ f(x)= ( ( xlogx^2 , per x != 0 ),( 0 , per x=0 ) ) $
considerata nell'intervallo [-1;1] è possibile calcolare il teorema sopra nominato. E negli intervalli [-1;0] e [0;1]?
In caso affermativo determinare i punti x in cui f'(x) = 0. Dire, inoltre, se esiste l'integrale
$ int_(-1)^(1) f(x)dx $
e calcolarne il valore. Giustificare tutte le risposte.
Bene, procediamo dal primo punto. La funzione a -1 e 1 assume lo stesso valore ma mi risulta essere zero, ma lì dice che è zero solo per x = 0, quindi già qui mi sono fermato, che faccio, applico la derivata? Ci ho provato e mi risulta $ logx^2 + 2 $ però non posso porla uguale a zero come vuole il teorema di Rolle! Quindi o non è applicabile oppure ho sbagliato qualcosa.
Forse se mi viene spiegato meglio come devo iniziare magari riuscirò ad andare avanti...
Risposte
E che centra che la funzione assume lo stesso valore in punti diversi: non è mica un reato.
Il teorema dice che la funzione deve assumere lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, infatti a -1 e 1 assume lo stesso valore che è zero. Poi il teorema dice di porre la derivata della funzione uguale a zero ma così mi risulta per nessun valore reale di x. Però il teorema dice innanzitutto che la funzione deve essere continua nell'intervallo chiuso tra -1 e 1, però nel punto zero si ha una discontinuità, quindi il teorema di Rolle non è applicabile! Però negli altri due intervalli dovrebbe essere applicabile, ma non mi risulta proprio perchè la derivata non posso porla uguale a zero dato che non mi dà nessun valore! E' questo il punto che non riesco a capire!
Perché in [tex]0[/tex] hai una discontinuità? In Analisi non sono un asso, ma io non la vedo...
L'argomento del logaritmo deve necessariamente essere maggiore di zero, quindi la funzione nel punto x = 0 non è continua.
L'argomento del logaritmo è elevato al quadrato.
Sì, infatti può essere ammesso per qualunque valore della x (positivo o negativo) escluso x uguale a zero. Ecco perchè lì non è continuo.
"sssebi":
L'argomento del logaritmo deve necessariamente essere maggiore di zero, quindi la funzione nel punto x = 0 non è continua.
Ma da come è definita la funzione è stata prolungata per continuità in 0, infatti $ lim_ (x -> 0) f(x)=0$.
A me il teorema viene verificato in $x=+-sqrt(1/e)$
In effetti è vero, data la definizione della funzione potremmo dire che è continua. Però il teorema di Rolle dice che deve essere anche derivabile in tutti i punti compresi tra -1 e 1. Adesso il problema nasce dal fatto che in zero è continua, come dimostra il limite che hai fatto, però se poniamo il limite della derivata della funzione risulta meno infinito che non rientra nell'intervallo. Quindi nell'intervallo chiuso e limitato [-1;1] non è applicabile il teorema di Rolle perchè la funzione non è derivabile nel punto zero.
Derivata --> $ logx^2 + 2 $
$ lim_(x -> 0) (logx^2 + 2) = -oo $
Ora, negli altri due intervalli invece è derivabile, perchè lo zero viene separato e quindi stavolta si può applicare il teorema di Rolle. E infatti anche a me risulta come ha detto @melia. Però questo andava precisato.
Adesso il dubbio mi è venuto nell'integrale. Non so se applicare l'integrale direttamente (c'è da considerare che la funzione deve essere continua nell'intervallo) oppure suddividere l'integrale in due, in modo da escludere lo zero e quindi calcolarlo con gli integrali impropri (quelli di secondo tipo). Se qualcuno mi ha seguito fin qui, può suggerirmelo?
Derivata --> $ logx^2 + 2 $
$ lim_(x -> 0) (logx^2 + 2) = -oo $
Ora, negli altri due intervalli invece è derivabile, perchè lo zero viene separato e quindi stavolta si può applicare il teorema di Rolle. E infatti anche a me risulta come ha detto @melia. Però questo andava precisato.
Adesso il dubbio mi è venuto nell'integrale. Non so se applicare l'integrale direttamente (c'è da considerare che la funzione deve essere continua nell'intervallo) oppure suddividere l'integrale in due, in modo da escludere lo zero e quindi calcolarlo con gli integrali impropri (quelli di secondo tipo). Se qualcuno mi ha seguito fin qui, può suggerirmelo?
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