Esercizio di matematica
Qualcuno mi può risolvere questo problema? Grazie
Una parabola passante per A e B divide il triangolo ABC in due parti equivalenti. Supposto ABC equilatero di lato 3 cm e l'asse della parabola perpendicolare al segmento AB, in un conveniente sistema di riferimento si determinino:
a) le coordinate di A, B, C;
b) l'equazione della parabola:
c) l'equazione del cerchio inscritto nel triangolo ABC.
(Esame di Stato di Liceo Scientifico, sessione suppletiva 2000, corso di ordinamento, quesito 1)
P.s.: Ho provato a cercare la soluzione su internet ma non c'è
Una parabola passante per A e B divide il triangolo ABC in due parti equivalenti. Supposto ABC equilatero di lato 3 cm e l'asse della parabola perpendicolare al segmento AB, in un conveniente sistema di riferimento si determinino:
a) le coordinate di A, B, C;
b) l'equazione della parabola:
c) l'equazione del cerchio inscritto nel triangolo ABC.
(Esame di Stato di Liceo Scientifico, sessione suppletiva 2000, corso di ordinamento, quesito 1)
P.s.: Ho provato a cercare la soluzione su internet ma non c'è
Risposte
nota che è scritto in un conveniente sistema di riferimento, cioè puoi adottare anche un sistema traslato (in teoria anche ruotato, ma non avrebbe senso) rispetto a xOy. questo implica che puoi prendere i punti A, B e C dove meglio ti pare, ad esempio A nell'origine, B (3,0) e C (3/2, (3/2)*rad(3) )
il punto b) è un po' più rognoso, devi svolgere un integrale per determinare l'equazione della parabola sapendo l'area (area_triangolo/2).
l'equazione della generica parabola passante per l'origine con asse // all'asse y, è y = ax^2 + bx (nota che in x=0 è effettivamente passante per l'origine). la parabola passa anche per B, quindi puoi esplicitare la a rispetto alla b (o viceversa) e sostituire nell'integrale. sia a = kb (k al devi ricavare), trovi che
da cui, per la linearità dell'integrale
(se qualcuno sa come formattare meglio la valutazione in x=3 e x=0 si faccia avanti..)
qui l'unica incognita è b, la ricavi e hai fatto
l'equazione del cerchio inscritto poi è facile: prendi i punti medi dei lati del triangolo e sai che per essi ci passa la circonferenza che ti interessa. ricordo che per 3 punti può passare solo una circonferenza
il punto b) è un po' più rognoso, devi svolgere un integrale per determinare l'equazione della parabola sapendo l'area (area_triangolo/2).
l'equazione della generica parabola passante per l'origine con asse // all'asse y, è y = ax^2 + bx (nota che in x=0 è effettivamente passante per l'origine). la parabola passa anche per B, quindi puoi esplicitare la a rispetto alla b (o viceversa) e sostituire nell'integrale. sia a = kb (k al devi ricavare), trovi che
[math] \int_{0}^{3} (kbx^2 + bx) dx= \frac {3*(\frac 32 *\sqrt 3)}{2}* \frac 12 [/math]
da cui, per la linearità dell'integrale
[math] kb \int_{0}^{3} x^2 dx + b \int_{0}^{3}x dx \\
kb \frac{x^3}{3}\,|^3_0 + b \frac{x^2}{2}\,|^3_0 = \frac{3*(\frac 32*\sqrt 3)}{4} [/math]
kb \frac{x^3}{3}\,|^3_0 + b \frac{x^2}{2}\,|^3_0 = \frac{3*(\frac 32*\sqrt 3)}{4} [/math]
(se qualcuno sa come formattare meglio la valutazione in x=3 e x=0 si faccia avanti..)
qui l'unica incognita è b, la ricavi e hai fatto
l'equazione del cerchio inscritto poi è facile: prendi i punti medi dei lati del triangolo e sai che per essi ci passa la circonferenza che ti interessa. ricordo che per 3 punti può passare solo una circonferenza
scusa ma ankora dobbiamo affrontare l'integrale!!! comunque grazie lo stesso, mi hai dato un'idea di come posso svolgerlo!
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