Esercizio di applicazione del teorema di Rolle

[Secchione95]

Ciao a tutti...
Mi scuso per il disturbo, ma vi volevo chiedere come si fa questo esercizio.. Dove bisogna applicare il teorema di Rolle.
Per applicare il teorema di Rolle la funzione deve essere definita e continua in un intervallo chiuso e deve essere derivabile nell'intervallo aperto. Inoltre f(a) = f(b)

Ecco l'esercizio:

Data la funzione:

$ f(x) = {a^(2)x^(4)-8x^(2)+7}/{4} $

Determina i valori del parametro a per i quali nell'intervallo $ [-|a| ; |a|] $ esiste un unico punto che soddisfa il teorema di Rolle.

Come è possibile che la soluzione è un intervallo ???
La soluzione è $ -sqrt(2) < a < sqrt(2) $

Attendo una vostra risposta e vi ringrazio in anticipo.

[giammaria2]

La funzione è un polinomio (quindi è continua e derivabile ovunque) e verifichi facilmente che per ogni $a$ si ha $f(-a)=f(a)$: esiste quindi sempre almeno un punto che soddisfa il teorema di Rolle. Si tratta di imporre che questo punto sia unico e per questo calcoliamo la derivata, ottenendo
$f'(x)=x(a^2x^2-4)$
La derivata si annulla per $x=0$ e questa è l'unica soluzione se $a=0$; altrimenti ci sono anche le soluzioni $x=+-2/a$ che vanno scartate se sono esterne all'intervallo, cioè se
$|2/a|>=|a| " "=>2/(|a|)>= |a|" " =>2>=a^2" "=>-sqrt2<=a<=sqrt2$
ed in questo intervallo rientra anche il caso $a=0$