Esercizio derivate

[HowardRoark]

La funzione $f: RR rarr RR$ soddisfa $f(x^2)f''(x) = f'(x)f'(x^2)$ per ogni numero reale $x$. Sapendo che $f(1)=1 e f''(1)=8$, determina $f'(1) + f''(1)$.

Dalla relazione del problema ricavo la seguente: $8= f'^2(1) => f'(1)= +- 2sqrt(2)$.

Il risultato è ovviamente sbagliato (la derivata di una funzione è una sola). Cosa sbaglio?

[giammaria2]

Non sbagli: la derivata è unica ma la funzione no. Basta guardare la formula per capire che se $f(x)$ è una soluzione, anche $-f(x)$ lo è.

[HowardRoark]

Credo di non aver capito.

$f'(x)$ è la funzione derivata prima di $f(x)$, non dovrei riuscire a determinarla in modo univoco?

E poi, considerando che per $f'(1)$ ho trovato due valori, come lo potrei risolvere il problema?

[giammaria2]

"HowardRoark":$f'(x)$ è la funzione derivata prima di $f(x)$, non dovrei riuscire a determinarla in modo univoco?

Sì, se conosci $f(x)$, ma direi che nel tuo caso sono possibili più formule per $f(x)$; non so quali perché quella che scrivi è un'equazione differenziale abbastanza allucinante. Per questo non riesco a trovare un esempio, ma se trascuriamo le condizioni in $x=1$ possiamo notare che l'equazione è soddisfatta sia da $f(x)=1/x$ che da $f(x)=-1/x$.

P.S. Ho provato a risolvere con gli sviluppi in serie (non preoccuparti se non sai cosa sono; lo scrivo per gli altri lettori) e mi pare proprio che non ci siano soluzioni.

EDIT. Nei miei calcoli avevo supposto che con $f'(x^2)$ si intendesse la derivata di $f(x^2)$, cioè che si dovesse prima sostituire e poi derivare, ma forse le due cose andavano fatte nell'ordine opposto ed il risultato è ben diverso. Ad esempio, con $f(x)=x^3$
- se prima sostituisco e poi derivo ho $f(x^2)=x^6->f'(x^2)=6x^5$
- se prima derivo e poi sostituisco ho $f'(x)=3x^2->f'(x^2)=3x^4$

[HowardRoark]

Considera l'esercizio non dovrebbe presupporre la conoscenza delle equazioni differenziali; dovrei soltanto trovare $f'(1)$ e sostituirlo in $ f'(1) + 8$ per trovare una soluzione (che il libro indica essere $6$). Comunque sia, per il momento ho tralasciato questo esercizio concentrandomi su altro: non avrebbe senso per me perderci molto tempo...
Ti ringrazio comunque per l'aiuto!

[StellaMartensitica]

Neanche Wolfram ce la fa. Brutto segno.

[Obidream]

"giammaria":[quote="HowardRoark"]$f'(x)$ è la funzione derivata prima di $f(x)$, non dovrei riuscire a determinarla in modo univoco?

Sì, se conosci $f(x)$, ma direi che nel tuo caso sono possibili più formule per $f(x)$; non so quali perché quella che scrivi è un'equazione differenziale abbastanza allucinante. Per questo non riesco a trovare un esempio, ma se trascuriamo le condizioni in $x=1$ possiamo notare che l'equazione è soddisfatta sia da $f(x)=1/x$ che da $f(x)=-1/x$.

P.S. Ho provato a risolvere con gli sviluppi in serie (non preoccuparti se non sai cosa sono; lo scrivo per gli altri lettori) e mi pare proprio che non ci siano soluzioni.

EDIT. Nei miei calcoli avevo supposto che con $f'(x^2)$ si intendesse la derivata di $f(x^2)$, cioè che si dovesse prima sostituire e poi derivare, ma forse le due cose andavano fatte nell'ordine opposto ed il risultato è ben diverso. Ad esempio, con $f(x)=x^3$
- se prima sostituisco e poi derivo ho $f(x^2)=x^6->f'(x^2)=6x^5$
- se prima derivo e poi sostituisco ho $f'(x)=3x^2->f'(x^2)=3x^4$[/quote]
Anche io avevo lo stesso dubbio ma non capisco come possa arrivare ad avere $f'(1)+8=6$ come risultato, sono curioso di sapere come va risolto a questo punto.
Wolfram non capisce il problema perché una EDO è qualcosa del tipo e non possono comparire dei quadrati nelle variabili:

$f(x, y(x), y'(x), y''(x),...,y^(text{(n)})(x))=0$

[Bokonon]

$f(x^2)=f(x)$ quando x=1, per ovvie ragioni
$f^{\prime}(x^2)=2xf^{\prime}(x)$

$2x[f^{\prime}(x)]^2=f(x^2)f^('')(x)$

$[f^{\prime}(1)]^2=f(1^2)f^('')(1)/(2*1)=4$ quindi $f^{\prime}(1)=+-2$
Ma $f^('')(1)$ è positiva, per cui è concava verso l'alto, ergo la derivata prima è negativa, quindi $f^{\prime}(1)=-2$
$f^{\prime}(1)+f^('')(1)=-2+8=6$

[StellaMartensitica]

Ah ecco come si faceva. Mi ero incartato.

[giammaria2]

Avevo avuto la stessa idea di Bokonon, che vale se prima si sostituisce e poi di deriva. Contesto però la frase

"Bokonon":Ma $ f^('')(1) $ è positiva, per cui è concava verso l'alto, ergo la derivata prima è negativa,

Anche una funzione crescente può essere concava verso l'alto; un esempio è $y=e^x$. C'è quindi anche la soluzione $+2+8=10$

[Bokonon]

@gianmaria Non ho capito la critica...intendevo dire che in quel punto e nel suo intorno la funzione è concava verso l'alto.

[Obidream]

"Bokonon":
Ma $f^('')(1)$ è positiva, per cui è concava verso l'alto, ergo la derivata prima è negativa, quindi $f^{\prime}(1)=-2$
$f^{\prime}(1)+f^('')(1)=-2+8=6$

Sono tonto, non avevo pensato a questa cosa

[giammaria2]

@ Bokonon
Nessun dubbio che la funzione sia concava verso l'alto; quello che contesto è il tuo "ergo la derivata prima è negativa". Con l'esempio che avevo dato, cioè con $f(x)=e^x$, si ha $f''(1)>0$ ma anche $f'(1)>0$.

[Bokonon]

@Gianmaria Concordo