Esercizio con dimostrazione numeri razionali
Buonasera a tutti,
Come già accennato, sono un biologo aspirante insegnante di matematica&scienze. Ho trovato questo esercizio in un libro della scuola secondaria di II grado.
"Considera il sottoinsieme \(\displaystyle \Omega \) di tutti i numeri reali del tipo \(\displaystyle a + b\sqrt{c} \) con \(\displaystyle a,b \) variabili nell'insieme dei numeri razionali e \(\displaystyle c \) costante razionale positiva. Dimostra che ogni elemento diverso da zero di \(\displaystyle \Omega \) ammette un inverso che a sua volta appartiene a \(\displaystyle \Omega \) e che la somma e il prodotto di due elementi di \(\displaystyle \Omega \) sono anch'essi elementi di \(\displaystyle \Omega \)".
Partendo dalle cose che conosco:
- Io so che, per definizione, perché un numero ammetta un inverso (rispetto alla moltiplicazione) deve esistere un altro numero tale che il prodotto di questi due dia 1.
Questo numero, nel mio caso, è dato da \(\displaystyle \frac{1}{a + b\sqrt{c} }\). Per dimostrare la sua esistenza mi basta esplicitare le sue condizioni di esistenza?
- Io voglio dimostrare che questo numero appartenga all'insieme \(\displaystyle \Omega \). Per fare ciò, devo cercare di ricondurre \(\displaystyle \frac{1}{a + b\sqrt{c} }\) ad una forma "simile" ad \(\displaystyle a + b\sqrt{c} \)? Ho le stesse perplessità su come procedere anche per quanto riguarda la somma ed il prodotto di due numeri appartenenti ad \(\displaystyle \Omega \).
Vi ringrazio molto per la pazienza. Mi scuso per le eventuali inesattezze e per l'aver scritto forse troppo, ma non penso sia interessante per nessuno la "sterile" richiesta dell'esercizio ed ho voluto cimentarmi con le mie conoscenze attuali.
Un saluto a tutti
Come già accennato, sono un biologo aspirante insegnante di matematica&scienze. Ho trovato questo esercizio in un libro della scuola secondaria di II grado.
"Considera il sottoinsieme \(\displaystyle \Omega \) di tutti i numeri reali del tipo \(\displaystyle a + b\sqrt{c} \) con \(\displaystyle a,b \) variabili nell'insieme dei numeri razionali e \(\displaystyle c \) costante razionale positiva. Dimostra che ogni elemento diverso da zero di \(\displaystyle \Omega \) ammette un inverso che a sua volta appartiene a \(\displaystyle \Omega \) e che la somma e il prodotto di due elementi di \(\displaystyle \Omega \) sono anch'essi elementi di \(\displaystyle \Omega \)".
Partendo dalle cose che conosco:
- Io so che, per definizione, perché un numero ammetta un inverso (rispetto alla moltiplicazione) deve esistere un altro numero tale che il prodotto di questi due dia 1.
Questo numero, nel mio caso, è dato da \(\displaystyle \frac{1}{a + b\sqrt{c} }\). Per dimostrare la sua esistenza mi basta esplicitare le sue condizioni di esistenza?
- Io voglio dimostrare che questo numero appartenga all'insieme \(\displaystyle \Omega \). Per fare ciò, devo cercare di ricondurre \(\displaystyle \frac{1}{a + b\sqrt{c} }\) ad una forma "simile" ad \(\displaystyle a + b\sqrt{c} \)? Ho le stesse perplessità su come procedere anche per quanto riguarda la somma ed il prodotto di due numeri appartenenti ad \(\displaystyle \Omega \).
Vi ringrazio molto per la pazienza. Mi scuso per le eventuali inesattezze e per l'aver scritto forse troppo, ma non penso sia interessante per nessuno la "sterile" richiesta dell'esercizio ed ho voluto cimentarmi con le mie conoscenze attuali.
Un saluto a tutti
Risposte
Razionalizza il denominatore. Come fare l’avrai studiato alle superiori.
Però mi preme notare che, per l’appunto, sono esercizi da secondo liceo e con Matematica&Scienze (c.d.c. A028, scuola secondaria di I grado) c’entrano poco.
Ti converrebbe concentrarti su questioni un po’ più aritmetiche e al confine tra aritmetica ed algebra, che sono quelle che più si affrontano alle medie.
Però mi preme notare che, per l’appunto, sono esercizi da secondo liceo e con Matematica&Scienze (c.d.c. A028, scuola secondaria di I grado) c’entrano poco.
Ti converrebbe concentrarti su questioni un po’ più aritmetiche e al confine tra aritmetica ed algebra, che sono quelle che più si affrontano alle medie.
"Cesius133":
Ho le stesse perplessità su come procedere anche per quanto riguarda la somma ed il prodotto di due numeri appartenenti ad \(\displaystyle \Omega \).
Quanto fa $(a + b\sqrt{c}) + (m + n\sqrt{c})$?
Quanto fa $(a + b\sqrt{c}) \times (m + n\sqrt{c})$?
In entrambi i casi, devi scrivere la risposta nella forma $j + k\sqrt{c}$, naturalmente. $j$ e $k$ saranno sempre razionali?
"gugo82":
Razionalizza il denominatore. Come fare l’avrai studiato alle superiori.
Però mi preme notare che, per l’appunto, sono esercizi da secondo liceo e con Matematica&Scienze (c.d.c. A028, scuola secondaria di I grado) c’entrano poco.
Ti converrebbe concentrarti su questioni un po’ più aritmetiche e al confine tra aritmetica ed algebra, che sono quelle che più si affrontano alle medie.
Grazie mille per il feedback. In questo momento, più che concentrarmi sul lavoro di insegnante, sto studiando per superare il concorso ordinario per matematica&scienze. Da quel che ho capito, anche leggendo i programmi, gli argomenti di potenziali domande sono più ampi di quelli generalmente trattati alla scuola media.
Come anticipato, però, la mia esperienza è poca, perciò se tu hai affrontato in passato dei concorsi o sai come si svolgono mi farebbe piacere avere qualche parere (so che è un po' off-topic rispetto all'esercizio).
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