Esercizio Circonferenza

[peppe6000]

Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza T pssante per il punto P(1;3) e tangente alla retta y=2 nel suo punto di ascissa 4 e aver indicato con H il suo centro, determina:
1) le sue intersezioni A e B con l'asse y (ya 2)la retta t tangente alla T in A
3) la circonferenza T' avente centro nel punto D(8; -5/2) e tangente a t in un punto Q.
4) l'area del quadrilatero AQDH


nel punto 1) i risultati sono A(0,4) B(0,10)
2) 4x+3y-12=0
3) x^2+y^2-16x+5y+64=0 Q(6;-4)
4) 75/2


Grazie in anticipo.

Aggiunto 1 ore 47 minuti più tardi:

scusa come ti è venuto questo?

https://www.skuola.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%20x=%20\frac{-a%20\pm%20\sqrt{a^2-4%28-4a-16%29}}{2}%20=%20\\%20\\%20=%20\frac{-a%20\pm%20\sqrt{a^2+16a+64}}{2}%20=%20\frac{-a%20\pm%20\sqrt{%28a+8%20%29^2}}{2}%20=%20\frac{-a%20\pm%20%28a+8%20%29}{2}

Aggiunto 53 minuti più tardi:

Risolto. Grazie

[BIT5]

1) l'equazione canonica della circonferenza e'

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

per trovare una circonferenza ci occorrono 3 informazioni (perche' 3 sono le variabili, a,b,c)

la circonferenza passa per il punto P

[math] 1^2+3^2+1a+3b+c=0 \to 10+a+3b+c=0[/math]

la circonferenza e' tangente alla retta y=2 nel punto di ascissa 4 (ovvero nel punto appartenente alla retta, quindi x=4 y=2) e pertanto passa anche da quel punto

quindi condizione di passaggio (appartenenza) del punto (4,2)

[math] 4^2+2^2+4a+2b+c=0 \to 20+4a+2b+c=0 [/math]

cominciamo a risolvere il sistema

[math] \{10+a+3b+c=0 \\ 20+4a+2b+c=0 [/math]

abbiamo due equazioni e 3 incognite, pertanto possiamo solo ricavare 2 incognite tutte in funzione della terza incognita

la prima dara'

[math] c=-10-a-3b [/math]

che sostituita alla seconda dara'

[math] 20+4a+2b+(-10-a-3b)=0 \to 20+4a+2b-10-a-3b=0 \\ \\ \to 3a-b+10=0 \to b=3a+10 [/math]

risostituiamo nella prima, il valore di b, ottenendo

[math] c=-10-a-3(3a+10) \to c=-10-a-9a-30 \to c=-10a-40 [/math]

Abbiamo cosi' ottenuto il fascio di tutte le circonferenze passanti per i due punti dati

[math] x^2+y^2+ax+(3a+10)y-10a-40=0 [/math]

la circonferenza e' tangente alla retta y=2. pertanto le intersezioni della circonferenza con la retta y=2 dovranno dare due valori coincidenti di x.

troviamo le intersezioni generiche

[math] \{x^2+y^2+ax+(3a+10)y-10a-40=0 \\ y=2 [/math]

sostituiamo y=2 nella prima

[math] x^2+4+ax+2(3a+10)-10a-40=0 \to x^2+ax-4a-16=0 [/math]

e troviamo le soluzioni dell'equazioni, che indicano le ascisse dei punti di intersezione (una sara' 4, perche' e' il punto condiviso da circonferenza e retta) l'altro DOVRA' essere 4

[math] x= \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4(-4a-16)}}{2} = \\ \\ = \frac{-a \pm \sqrt{a^2+16a+64}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{(a+8 )^2}}{2} = \frac{-a \pm (a+8 )}{2}[/math]

da cui le due ascisse di intersezione tra retta e circonferenza saranno:

[math] x_1 = \frac{-a+a+8}{2} = 4 [/math]

[math] x_2 = \frac{-a-a-8}{2} = \frac{-2a-8}{2} = \frac{2(-a-4)}{2} = -a-4 [/math]

siccome le due ascisse devono coincidere, dovra' dunque essere

[math] -a-4=4 \to a=-8 [/math]

e quindi sostituendo al fascio trovato

[math] x^2+y^2+ax+(3a+10)y-10a-40=0 [/math]

avremo

[math] x^2+y^2-8x+(3 \cdot ( -8 ) +10) y -10 \cdot (-8 ) -40 [/math]

ovvero

[math] x^2+y^2-8x-14y+40=0 [/math]

che e' la circonferenza T cercata

Aggiunto 2 minuti più tardi:

1) l'asse y ha equazione x=0 quindi le intersezioni saranno

[math] \{x^2+y^2-8x-14y+40=0 \\ x=0 [/math]

da cui sostituendo e risolvendo con somma e prodotto (ma puoi usare la formula, come preferisci)

[math] y^2-14y+40=0 \to (y-10)(y-4)=0 \to y=4 \ \ \ \ \ y=10 [/math]

i punti saranno (ricorda che x=0)

[math] A(0,4) \ \ \ \ \ B(0,10) [/math]

Aggiunto 12 minuti più tardi:

2) la retta tangente alla circonferenza in A sara' una delle infinite rette passanti per A

tutte le rette passanti per un punto appartengono al fascio

[math] y-y_A=m(x-x_A) [/math]

dove xA e yA sono le coordinate del punto (centro del fascio)

il fascio delle rette passanti per A sara' dunque

[math] y-4=m(x-0) \to y=mx+4 [/math]

ora puoi procedere in due modi.

o metti a sistema il fascio con la circonferenza

[math] \{y=mx+4 \\ x^2+y^2-8x-14y+40=0 [/math]

sostituisci nella seconda

[math] x^2+(mx+4)^2 -8x-14(mx+4)+40=0 [/math]

quindi

[math] x^2+m^2x^2+16+8mx-8x-14mx-56 +40 = 0 \\ \\ \to x^2+m^2x -6mx + 8x = 0[/math]

e raccogli secondo le potenze di x

[math] (1+m^2)x^2+(-6m-8 )x = 0 [/math]

raccogli x

[math] x \[ (1+m^2)x -6m - 8 \] = 0 [/math]

da cui x=0 e

[math] x= \frac{8+6m}{1+m^2} [/math]

e pertanto, siccome vuoi che la retta sia tangente, ti occorre che le due x coincidano, quindi la seconda x dev'essere uguale alla prima (quindi zero)

[math] \frac{8+6m}{1+m^2} = 0 \to 8+6m=0 \to m=- \frac{4}{3} [/math]

e quindi il fascio era

[math] y=mx+4 \to y=- \frac43 x+4 \to \\ \\ 3y=-4x+12 \to 4x+3y-12=0 [/math]

o, meglio ancora negli esercizi sulla circonferenza...

trovi il centro della circonferenza
il raggio

e trovi la retta generica y=mx+4, (in forma implicita mx-y+4=0 ) avente dal Centro una distanza pari al raggio, utilizzando la formula

[math] d= \frac{ax_C+by_C+c}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

dove xC e yC sono le coordinate del centro, d e' la distanza centro/retta (ovvero il raggio) e a,b,c i parametri della retta in forma implicita

(ovvero

[math] a=m \ \ \ \ \ \ b=-1 \ \ \ \ \ \ c=4 [/math]

ma se vuoi provare, te lo lascio come esercizio

Aggiunto 16 minuti più tardi:

3)

Hai il centro, e quindi a e b della circonferenza da trovare

sapendo che

[math] x_C=- \frac{a}{2} \to 8=- \frac{a}{2} \to a=-16 [/math]

e

[math] y_C=- \frac{b}{2} \to - \frac52=- \frac{b}{2} \to b=5 [/math]

la circonferenza sara' della forma

[math] x^2+y^2-16x+5y+c=0 [/math]

troviamo le intersezioni con la retta y=-4/3x + 4

[math] \{x^2+y^2-16x+5y+c=0 \\ y=- \frac43 x + 4 [/math]

da cui sostituisci la seconda nella prima

[math] x^2+ \(- \frac43 x +4 \)^2-16x+5 \( - \frac43 x +4 \) + c = 0 [/math]

calcoliamo..

[math] x^2+ \frac{16}{9} x^2 + 16 - \frac{32}{3} x - 16 x - \frac{20}{3} x + 20 + c = 0 [/math]

e dunque (minimo comune denominatore, che e' 9)

[math] \frac99 x^2 + \frac{16}{9}x^2 + \frac{144}{9} - \frac{96}{9} x - \frac{144}{9} x - \frac{60}{9} x + \frac{180}{9} + \frac99 c = 0 [/math]

eliminiamo il denominatore e sommiamo

[math] 25x^2 - 300 x + 324 + 9c = 0 [/math]

le soluzioni dell'equazione di secondo grado, saranno due ed esprimeranno le ascisse dei punti di intersezione tra circonferenza e retta data.Ma siccome vogliamo che la circonferenza sia tangente, queste soluzioni dovranno essere coincidenti.

Un'equazione di secondo grado ha due soluzioni coincidenti se il delta e' = 0

Calcoliamo il delta (meglio il delta/4 se lo conosci...)

[math] \Delta = 300^2-4(25)(324+9c) = \\ \\ \\ = 90000 - 32400 - 900c = -900c + 57600 [/math]

che dovra' essere = 0 quindi

[math] c= \frac{57600}{900} = 64 [/math]

e quindi la circonferenza era della forma

[math] x^2+y^2-16x+5y+c=0 \to x^2+y^2-16x+5y+64=0 [/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

4) siccome e' un quadrato e' sufficiente che ti calcoli un lato.


prendi due punti consecutivi e calcoli la distanza tra due punti

[math] d= \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} [/math]

siccome l'area del quadrato e'

[math] l^2 [/math]

e questo lato e' la distanza tra due punti, l'area sara' dunque

[math] d^2=(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 [/math]

Aggiunto 1 ore 8 minuti più tardi:

considerando

[math] x^2+ax-4a-16=0 [/math]

ho davanti un'equazione di secondo grado della forma

[math] ax^2+bx+c=0 [/math]

con

[math] a=1 \ \ \ \ \ b=a \ \ \ \ \ c=-4a-16 [/math]

le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono

[math] x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} [/math]

pertanto

[math] x_{1,2}= \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4(1)(-4a-16)}}{2 \cdot 1} [/math]