Esercizio calcolo di un integrale indefinito per sostituzione.

[StellaMartensitica]

$ int sqrt((x+1)/(1-x)) dx$. Io ho impostato un procedimento, che adesso riporto, ma mi porta ad un risultato sbagliato e mi piacerebbe tanto capire il perché e quale sia il procedimento corretto:

$ int sqrt((x+1)/(1-x)) dx= int sqrt(x+1)/sqrt(1-x) dx = -2*int sqrt(x+1)/(-2sqrt(1-x)) dx$
A questo punto applico la sostituzione $t=sqrt(1-x)$ da cui segue $dt=1/(-2*sqrt(1-x))dx$ e $1-x=t^2$ e quindi $x=1-t^2$
L'integrale con la sostituzione diventa:
$-2int sqrt(2-t^2)dt$
Poi ponendo u=$sqrt(2)*sen(t) $arrivo a:
$-2int sqrt(2-t^2)dt=-2u-sen(2u)=-2arcsen(t/sqrt(2))-t*sqrt(2-t^2)=$
$=-2arcsen(sqrt((1-x)/2))-sqrt(1-x^2)+c$

Il risultato corretto sarebbe $arcsen(x)-sqrt(1-x^2)+c$

Grazie a quanti potranno rispondermi.

[orsoulx]

La funzione che trovi differisce dal 'risultato corretto' solo per una costante, dunque è solo un altro modo per esprimere l'integrale indefinito.
Ciao
[strike]E.C. è sbagliato il segno dell'arcoseno[/strike]
Cancellato alle 21:18

[mgrau]

@orsoulx
[ot]Cosa vuol dire E.C. ?[/ot]

[orsoulx]

@mgrau:
[ot]Errata Corrice o, per i latinisti pignoli, Erratum Corrige, visto che l'errore è uno solo, spero.[/ot]
Ciao

[StellaMartensitica]

Ma esiste modo di accorgersi che le due scritture della primitiva, in questa situazione, sono equivalenti (senza derivare)?
Cioè, come passo da $ =-2arcsen(sqrt((1-x)/2))-sqrt(1-x^2)+c $ a$ arcsen(x)-sqrt(1-x^2)+c $ con la goniometria?

[Casio98]

Ricordando che $arcsin(x)=\pi/2-arccos(x)$ e $arccos(x)=2arcsin(sqrt((1-x)/2))$, ti ricavi la tua relazione. Quest'ultima identità te la ricavi manipolando le formule di bisezione.

[StellaMartensitica]

Ora ho capito. Grazie.

[orsoulx]

Posto $ \alpha=arscen sqrt((1-x)/2) $
$ sin \alpha =sqrt((1-x)/2) $ con $ 0<=\alpha<=\pi/2 $
$ cos(2 \alpha)=1-2sin^2 \alpha=1-(1-x)/2=x $
$ sin(\pi/2-2 \alpha)=x $
$ \pi/2-2 \alpha=arcsen x $
$ -2 arscen sqrt((1-x)/2)=arcse x- \pi/2 $
Ciao