Esercizi vari sui limiti
Vorrei sottoporvi alcuni esercizi sui limiti che non riesco a svolgere o su cui ho dei dubbi.
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \left( \frac{x+4}{2x+1}\right)^{x}[/tex]
Ho pensato di raccogliere [tex]x[/tex] al numeratore ed al denominatore ottenendo:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \left( \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(2+\frac{1}{x})}\right)^{x}[/tex]
Da cui
[tex]\frac{1}{2}^{+\infty}= 0[/tex]
Non sono però sicuro della conclusione che ho tratto. Potreste cortesemente dirmi se ho sbagliato?
Un altro esercizio che vorrei sottoporvi è il seguente:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{3x^{2}}[/tex]
Dovrei risolverlo senza utilizzare il [tex]\cosh[/tex] e non so proprio da dove iniziare...
Vi prego di aiutarmi!
Il mangiabambini
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \left( \frac{x+4}{2x+1}\right)^{x}[/tex]
Ho pensato di raccogliere [tex]x[/tex] al numeratore ed al denominatore ottenendo:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \left( \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(2+\frac{1}{x})}\right)^{x}[/tex]
Da cui
[tex]\frac{1}{2}^{+\infty}= 0[/tex]
Non sono però sicuro della conclusione che ho tratto. Potreste cortesemente dirmi se ho sbagliato?
Un altro esercizio che vorrei sottoporvi è il seguente:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{3x^{2}}[/tex]
Dovrei risolverlo senza utilizzare il [tex]\cosh[/tex] e non so proprio da dove iniziare...
Vi prego di aiutarmi!
Il mangiabambini
Risposte
A parte il fatto che il tuo nick non mi piace, non serve che tu lo traduca, dopo tutto i babau fanno paura, non chiedono aiuto!
il primo limite che hai calcolato va bene, per il secondo dovresti scomporlo in due addendi$( e^{x}+e^{-x}-2)/(3x^{2})=( e^{x}-1)/(3x^{2})+( e^{-x}-1)/(3x^{2})$ e poi fare riferimento ai limiti notevoli
il primo limite che hai calcolato va bene, per il secondo dovresti scomporlo in due addendi$( e^{x}+e^{-x}-2)/(3x^{2})=( e^{x}-1)/(3x^{2})+( e^{-x}-1)/(3x^{2})$ e poi fare riferimento ai limiti notevoli
"@melia":
A parte il fatto che il tuo nick non mi piace, non serve che tu lo traduca, dopo tutto i babau fanno paura, non chiedono aiuto!
Ci sono babau e babau.. io in realtà sono buono.. sono le mamme che mi ritraggono per quel che non sono
il primo limite che hai calcolato va bene, per il secondo dovresti scomporlo in due addendi$( e^{x}+e^{-x}-2)/(3x^{2})=( e^{x}-1)/(3x^{2})+( e^{-x}-1)/(3x^{2})$ e poi fare riferimento ai limiti notevoli
Ci provo:
$( e^{x}+e^{-x}-2)/(3x^{2})=( e^{x}-1)/(3x^{2})+( e^{-x}-1)/(3x^{2}) =$
$= ( e^{x}-1)/x*1/(3x)-(e^{-x}-1)/-x*1/(3x) =$
$= 1/(3x)*(( e^{x}-1)/x-(e^{-x}-1)/-x)$
Ma adesso invece di avere una forma indeterminata del tipo $0/0$ ne ho una del tipo $+oo*0$ e non so di nuovo come comportarmi..
Hai ragione, mi è venuto in mente mentre preparavo la cena, che forse il mio consiglio ti portava ad una nuova forma di indeterminazione. E di usare L'Hospital che ne dici? Bisogna applicarlo un paio di volte.
Provo con L'Hospital:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{3x^{2}} =[/tex]
[tex]= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{6x} =[/tex]
[tex]= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}}{6} = \frac{1}{3}[/tex]
Spero di non aver fatto orroracci con la derivazione..
Grazie mille @melia!
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{3x^{2}} =[/tex]
[tex]= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{6x} =[/tex]
[tex]= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}}{6} = \frac{1}{3}[/tex]
Spero di non aver fatto orroracci con la derivazione..
Grazie mille @melia!
Prego 
Avrei un altro paio di esercizi da sottoporvi 
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{x+1}{|x|-1}}[/tex]
E' la prima volta che incontro un valore assoluto in un limite e non so come trattarlo.
Distinguere i due casi x>0 e x<0 non ha senso: se la funzione tende a $-oo$ è definitivamente negativa.
L'altro esercizio per cui vorrei qualche hint è questo:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{-x+\sqrt{x^{2}-8} }{6x+7}}[/tex]
Ho raccolto $x^2$ sotto radice, portato fuori x, raccolto x al numeratore ed al denominatore ed ho ottenuto come risultato 0, ma secondo il libro dovrebbe essere $-1/3$
Ciao e grazie ancora! ^^
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{x+1}{|x|-1}}[/tex]
E' la prima volta che incontro un valore assoluto in un limite e non so come trattarlo.
Distinguere i due casi x>0 e x<0 non ha senso: se la funzione tende a $-oo$ è definitivamente negativa.
L'altro esercizio per cui vorrei qualche hint è questo:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{-x+\sqrt{x^{2}-8} }{6x+7}}[/tex]
Ho raccolto $x^2$ sotto radice, portato fuori x, raccolto x al numeratore ed al denominatore ed ho ottenuto come risultato 0, ma secondo il libro dovrebbe essere $-1/3$
Ciao e grazie ancora! ^^
So qual è il tuo problema. Ti comunico che $sqrt(x^2)=|x|$ e non, erroneamente, $x$ come hai scritto nei tuoi calcoli.
"@melia":
So qual è il tuo problema. Ti comunico che $sqrt(x^2)=|x|$ e non, erroneamente, $x$ come hai scritto nei tuoi calcoli.
Hai ragione, me ne ero dimenticato. Ma è comunque un esercizio che non riesco a svolgere: non so come trattare i valori assoluti
Per $x -> -oo$ si ha $|x|=-x$
Grazie @melia, ancora una volta mi sei stata di grandissimo aiuto
Prego
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