Esercizi sulle matrici.
Ragazzi devo risolvere un esercizio sulle matrici. Vi scrivo l'esercizio.
Avendo un sistema lineare del tipo:
kx-4y-2z=8
y+kz=-k
dire per quali valori di k il sistema è compatibile(possibile)
dire per quali valori di k il sistema è determinato.
Ora io sono arrivato alla conclusione che il sistema è sempre compatibile, cioè è possibile per tutti i valori di k.
Non riesco però a stabilire quando è determinato. So che si definisce determinato un sistema che ammette una sola soluzione solo che non so stabilire per quali valori di k è determinato. Mi potete dire il procedimento passo passo per stabilire i valori di k per cui il sistema è determinato?
Avendo un sistema lineare del tipo:
kx-4y-2z=8
y+kz=-k
dire per quali valori di k il sistema è compatibile(possibile)
dire per quali valori di k il sistema è determinato.
Ora io sono arrivato alla conclusione che il sistema è sempre compatibile, cioè è possibile per tutti i valori di k.
Non riesco però a stabilire quando è determinato. So che si definisce determinato un sistema che ammette una sola soluzione solo che non so stabilire per quali valori di k è determinato. Mi potete dire il procedimento passo passo per stabilire i valori di k per cui il sistema è determinato?
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum!
Scrivo la matrice associata
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
k & -4 & -2 & 8 \\
0 & 1 & k & -k
\end{array}
\right)
\]Considero il minore \(\left( \begin{matrix} k & -4 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \) il cui determinante è $k$.
Se $k != 0$ il minore è invertibile, quindi il rango dell'incompleta è due, uguale a quello della completa $rArr$ il sistema è risolvibile e ammette $oo^(3-2) = oo^1$ soluzioni. La soluzione dipende quindi da un parametro (nel nostro caso $z$) e si trova nel solito modo, ad esempio con Kramer.
Se invece $k=0$ sostituisco e ottengo la matrice
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & -4 & -2 & 8 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]Osservando il minore \(\left( \begin{matrix} -4 & -2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \) si nota che il suo determinante è $2$, quindi è invertibile. Ancora una volta il rango delle due matrici è uguale, il sistema è risolvibile con $oo^1$ soluzioni, cioè dipendenti da un parametro (nel nostro caso $x$).
Tutto chiaro?
Scrivo la matrice associata
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
k & -4 & -2 & 8 \\
0 & 1 & k & -k
\end{array}
\right)
\]Considero il minore \(\left( \begin{matrix} k & -4 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \) il cui determinante è $k$.
Se $k != 0$ il minore è invertibile, quindi il rango dell'incompleta è due, uguale a quello della completa $rArr$ il sistema è risolvibile e ammette $oo^(3-2) = oo^1$ soluzioni. La soluzione dipende quindi da un parametro (nel nostro caso $z$) e si trova nel solito modo, ad esempio con Kramer.
Se invece $k=0$ sostituisco e ottengo la matrice
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & -4 & -2 & 8 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]Osservando il minore \(\left( \begin{matrix} -4 & -2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \) si nota che il suo determinante è $2$, quindi è invertibile. Ancora una volta il rango delle due matrici è uguale, il sistema è risolvibile con $oo^1$ soluzioni, cioè dipendenti da un parametro (nel nostro caso $x$).
Tutto chiaro?
Quindi se non ho mal capito i passaggi sono:
vedere se r(A)=r(A associata)
calcolare determinante e porlo diverso da 0.
vedere se r(A)=r(A associata)
calcolare determinante e porlo diverso da 0.
"Arturo23":
Quindi se non ho mal capito i passaggi sono:
vedere se r(A)=r(A associata)
calcolare determinante e porlo diverso da 0.
Non sono passaggi fissi ma si deve ragionare tenendo presente cosa dice il teorema di Rouchè-Capelli.
Se mai prova a postare altri esercizi che ti danno problemi che li guardiamo insieme.
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