Esercizi sui logaritmi

[ale92_ale]

Ciao... Potete aiutarmi a risolvere questi esercizi per favore? Ho provato a farli ma non li ho proprio capiti...

2^(x+1)>= 5^(1-x)

2log in base 2/3 di (x-1) = -2

Log(x^2+x) - log (x^2-x)=1 p.s: di questo esercizio la base è sempre 3

In tutti gli esercizi ho cercato di applicare le proprietà dei logaritmi,,, grazieee

Aggiunto 5 ore 59 minuti più tardi:

Grazie mille :)

[BIT5]

il primo:

scegli logaritmo in base 2 o logaritmo in base 5.
Entrambi i logaritmi hanno base >1, pertanto se 2^(x+1)>=5^(1-x) allora anche logaritmo in base 2 (o 5) degli argomenti saranno uno maggiore dell'altro.

Scegliamo Log_2

[math] \log_2 \(2^{(x+1)} \)\ge \log_2 \( 5^{(1-x)} \) [/math]

Il termine a sinistra sara' "l'esponente che devo dare alla base (2) per ottenere 2^(x+1). Ovviamente il risultato sara' l'esponente.

Il termine a destra : ricorda che

[math] \log a^n = n \log a [/math]

quindi

[math] x+1 \ge (1-x) \log_2 5 [/math]

moltiplico a destra

[math] x+1 \ge \log_2 5 - x \log_2 x [/math]

porto i termini in x a sinistra, i termini noti a destra

[math] x+x \log_2 5 \ge \log_2 5 - 1 [/math]

raccolgo x a sinistra

[math] x ( 1+ \log_2 5) \ge \log_2 5 -1 [/math]

divido per il coefficiente di x (che e' maggiore di zero quindi non cambia il verso della disequazione)

[math] x \ge \frac{ \log_2 5 - 1}{1 + \log_2 5} [/math]

se e' chiaro passiamo al secondo

Aggiunto 9 minuti più tardi:

2)
Per prima cosa dobbiamo discutere il campo di esistenza.
L'argomento del logaritmo dev'essere sempre > 0 quindi x-1>0 ovvero x>1

applicando la proprieta' di prima (al contrario) e ricordando che

[math] n= \log_a a^n [/math]

avremo

[math] \log_{ \frac23} (x-1)^2 = \log_{\frac23} \(\frac23\)^{-2} [/math]

AFfinche' due logaritmi siano uguali, uguali devono essere gli argomenti, quindi

[math] (x-1)^2 = \( \frac23 \)^{-2} \to (x-1)^2 = \( \frac32 \)^2 \to (x-1)^2 = \frac94 [/math]

risolvi l'equazione di secondo grado, ottenendo due risultati:

[math] x= \frac52 [/math]

accettabile per il campo di esistenza

[math] x= - \frac12 [/math]

non accettabile perche'