Esercizi sui limiti
Nella sezione del mio testo sui limiti notevoli non riesco a risolvere questo esercizio:
$lim_(x->0)(tan(3x)/sin(x))$
Invece nella sezione sui limiti di funzioni esponenziali non mi vengono questi due esercizi poiché non riesco a portarmi nella forma canonica
A) $lim_(x->-infty)([(x+2)/(x+1)]^x)$
B)$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)$
In questo ho provato a moltiplicare per $1/x$ e sono arrivato a trovare $[1+(1/x)]^(1/x)$ però non so poi come andare avanti.
Grazie
$lim_(x->0)(tan(3x)/sin(x))$
Invece nella sezione sui limiti di funzioni esponenziali non mi vengono questi due esercizi poiché non riesco a portarmi nella forma canonica
A) $lim_(x->-infty)([(x+2)/(x+1)]^x)$
B)$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)$
In questo ho provato a moltiplicare per $1/x$ e sono arrivato a trovare $[1+(1/x)]^(1/x)$ però non so poi come andare avanti.
Grazie
Risposte
Per l'esercizio più in alto dividi numeratore e denominatore per $3x $
per l'esercizio A modifica così : $( (x+2)/(x+1))^x = (1+(1/(x+1)))^((x+1)*x/(x+1))$
Forse ti ho aiutato troppo ...
per l'esercizio A modifica così : $( (x+2)/(x+1))^x = (1+(1/(x+1)))^((x+1)*x/(x+1))$
Forse ti ho aiutato troppo ...
Per il B), se lo riscrivi come $lim_(x->0) exp(log(1+x)/x)$ e tieni conto del limite notevole all'esponente in pratica lo hai già risolto
Per il primo esercizio ho risolto tranquillo seguendo Camillo.
Per l'A) invece non capisco il procedimento applicato
Per il B) non siamo ancora arrivati a quel capitolo dei limiti
Per l'A) invece non capisco il procedimento applicato
Per il B) non siamo ancora arrivati a quel capitolo dei limiti
Il B) dovrebbe essere un limite notevole secondo me.
Ok, immagino tu debba essere il limite: $lim_(x->+-oo) (1+1/x)^x=e$
Per l'esercizio A) hai:
$lim_(x->-oo) ((x+2)/(x+1))^x$
Puoi riscriverlo in questo modo:
$lim_(x->-oo) ((x+1+1)/(x+1))^x$
$lim_(x->-oo) ((x+1)/(x+1)+1/(x+1))^x$
$lim_(x->-oo) (1+1/(x+1))^x$
A questo punto moltiplichi e dividi per la stessa quantità al numeratore per avere il limite notevole, prova tu a concludere da qui.
L'esercizio B) potresti risolverlo con una sostituzione:
$lim_(x->0) (1+x)^(1/x)$
$t=1/x$ per $x->0$ implica che $t->+-oo$ per cui il limite diventa $lim_(t->+-oo) (1+1/t)^t=e$ che è il limite notevole di cui sopra ma non sono troppo sicuro di questo passaggio
Per l'esercizio A) hai:
$lim_(x->-oo) ((x+2)/(x+1))^x$
Puoi riscriverlo in questo modo:
$lim_(x->-oo) ((x+1+1)/(x+1))^x$
$lim_(x->-oo) ((x+1)/(x+1)+1/(x+1))^x$
$lim_(x->-oo) (1+1/(x+1))^x$
A questo punto moltiplichi e dividi per la stessa quantità al numeratore per avere il limite notevole, prova tu a concludere da qui.
L'esercizio B) potresti risolverlo con una sostituzione:
$lim_(x->0) (1+x)^(1/x)$
$t=1/x$ per $x->0$ implica che $t->+-oo$ per cui il limite diventa $lim_(t->+-oo) (1+1/t)^t=e$ che è il limite notevole di cui sopra ma non sono troppo sicuro di questo passaggio
Si esatto la forma a cui dovrei arrivare è quella!
Per l'A) appena posso provo a concluderlo
Il B) invece il risultato è corretto l'unico dubbio è che il mio prof ci ha consigliato di sostituire $x$ con $t$ una volta giunti alla forma canonica ma il tuo ragionamento mi pare con un senso!
Grazie
Per l'A) appena posso provo a concluderlo
Il B) invece il risultato è corretto l'unico dubbio è che il mio prof ci ha consigliato di sostituire $x$ con $t$ una volta giunti alla forma canonica ma il tuo ragionamento mi pare con un senso!
Grazie
Perdonami l'ignoranza ma ho provato a risolvere il punto A)
Ho provato a moltiplicare sia per $(x+1)/(x+1)$ sia per $1-(1/(x+1))$ sia per $x/x$ ma non capisco come ottenere un limite notevolmente del tipo $(1+(1/x))^x$ ...
Ho provato a moltiplicare sia per $(x+1)/(x+1)$ sia per $1-(1/(x+1))$ sia per $x/x$ ma non capisco come ottenere un limite notevolmente del tipo $(1+(1/x))^x$ ...
Passare da $ (x+2)/(x+1) ---> (x+1+1)/(x+1) ----> 1+1/(x+1)$ è facile ok ?
Più difficile è sistemare l'esponente , ricorda che $ lim_(x rarr +- oo) (1+1/x)^x = e $ anzi ancora più generale se $(f(x) rarr +-oo )$ allora $( 1+1/f(x))^(f(x)) rarr e $
E' fondamentale che l'esponente $f(x) $ sia uguale esattamnete al denominatore della frazione in parentesi, appunto $f(x) $
Ma noi ad esponente abbiamo $x $ mentre il denominatore della frazione è $(x+1)$ .Infatti il limite nostro è diventato $ (1+1/(x+1))^x $ .
Come possiamo fare ? ad esponente devo mettere $(x+1) $ ma adesso c'è $ x $ allora trucco , l'esponente lo modifico così $
(x+1)*x/(x+1)$ che vale sempre $x $ .
Quindi siamo arrivati a $ lim_(x rarr -oo ) (1+1/(x+1) )^[(x+1)* (x/(x+1))]$
A te concludere...
Più difficile è sistemare l'esponente , ricorda che $ lim_(x rarr +- oo) (1+1/x)^x = e $ anzi ancora più generale se $(f(x) rarr +-oo )$ allora $( 1+1/f(x))^(f(x)) rarr e $
E' fondamentale che l'esponente $f(x) $ sia uguale esattamnete al denominatore della frazione in parentesi, appunto $f(x) $
Ma noi ad esponente abbiamo $x $ mentre il denominatore della frazione è $(x+1)$ .Infatti il limite nostro è diventato $ (1+1/(x+1))^x $ .
Come possiamo fare ? ad esponente devo mettere $(x+1) $ ma adesso c'è $ x $ allora trucco , l'esponente lo modifico così $
(x+1)*x/(x+1)$ che vale sempre $x $ .
Quindi siamo arrivati a $ lim_(x rarr -oo ) (1+1/(x+1) )^[(x+1)* (x/(x+1))]$
A te concludere...
Quindi non si può rendere in $(1+(1/x))^x$ oppure trovare una forma del tipo $(1+(n/x))^x$ e poi porre $(n/7)=(1/t)$ ?
Potresti porre per rendere più evidenti i passaggi :$ y=x+1 $; se $ x rarr -oo -> y rarr -oo $
Il limite diventa $ lim_(y rarr -oo ) ( 1+1/y)^[y*(y-1)/y ] $ ; ma $lim_(y rarr -oo )( y/(y-1))= 1 $ lascio a te la conclusione .
Il limite diventa $ lim_(y rarr -oo ) ( 1+1/y)^[y*(y-1)/y ] $ ; ma $lim_(y rarr -oo )( y/(y-1))= 1 $ lascio a te la conclusione .
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