Esercizi sui fasci di parabole veramente tosti!
Salve a tutti e buona Pasqua 
Ho un esercizio abbastanza impegnativo sui fasci di parabole:
Sia $(m+1)x^2-4(m+1)x-(m+1)y+4+5m=0$.
1. Studia il fascio --> OK
2. Determina la parabola cui appartiene $A(3; -3)$ --> OK
3. " " che intercetta sull'asse x un segmento lungo 6;
4. " " che tange la retta $2x-y-3=0$;
5. " " che forma nel 1 quadrante un triangolo mistilineo di area $8/3$.
Mi sono fermato al terzo punto. So che bisogna trovare le coordinate generiche dei punti P e Q date dal sistema:
${(y=0),(y=x^2-4x+(4+5m)/(m+1)):}$, poste tutte le C.E.. Ma risolvendo l'equazione risolvente $(m+1)x^2-4x(m+1)+4+5m=0$, le radici vengono veramente una cosa impossibile! Le coordinate dei punti risulterebbero : $P((2m+2+sqrt(-m^2-m))/(m+1), 0)$ e $Q((2m+2-sqrt(-m^2-m))/(m+1), 0)$, e penso sia abbastanza complicato lavorare con due puntacci del genere. Ho sbagliato qualcosa?
Ho un esercizio abbastanza impegnativo sui fasci di parabole:
Sia $(m+1)x^2-4(m+1)x-(m+1)y+4+5m=0$.
1. Studia il fascio --> OK
2. Determina la parabola cui appartiene $A(3; -3)$ --> OK
3. " " che intercetta sull'asse x un segmento lungo 6;
4. " " che tange la retta $2x-y-3=0$;
5. " " che forma nel 1 quadrante un triangolo mistilineo di area $8/3$.
Mi sono fermato al terzo punto. So che bisogna trovare le coordinate generiche dei punti P e Q date dal sistema:
${(y=0),(y=x^2-4x+(4+5m)/(m+1)):}$, poste tutte le C.E.. Ma risolvendo l'equazione risolvente $(m+1)x^2-4x(m+1)+4+5m=0$, le radici vengono veramente una cosa impossibile! Le coordinate dei punti risulterebbero : $P((2m+2+sqrt(-m^2-m))/(m+1), 0)$ e $Q((2m+2-sqrt(-m^2-m))/(m+1), 0)$, e penso sia abbastanza complicato lavorare con due puntacci del genere. Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
A occhio non mi pare ci siano errori, ma nemmeno grossi problemi nel calcolo della distanza tra $P$ e $Q$. Infatti $\bar (PQ)=sqrt([(2m+2+sqrt(-m^2 -m))/(m+1) - (2m+2-sqrt(-m^2 -m))/(m+1)]^2 + (0-0)^2 )=sqrt([(2m+2+sqrt(-m^2 -m)-2m-2+sqrt(-m^2 -m))/(m+1)]^2)=sqrt([(2sqrt(-m^2 -m))/(m+1)]^2)=|2sqrt(-m^2 -m)/(m+1)|$
Hai sbagliato solo a fermarti, la distanza tra P e Q si calcola facendo $|x_p - x_q|$ e il problema si semplifica notevolmente
Ecco grazie, sì, mi ero accorto che bastava continuare.
Nel frattempo ho fatto il quarto punto, tutto giusto.
Ho cominciato anche il quinto, ma qui l'esercizio si fa veramente estremamente calcoloso.
Provo a tracciare un grafico della situazione.
[asvg]xmin = -2; xmax = 4; ymin = -1; ymax = 5; axes(); plot("y=x^2-4x+4"); stroke="red"; plot("y=-2x+4");[/asvg]
Devo porre che l'area della regione di piano delimitata dai semiassi positivi x e y e la parabola sia 8/3.
Il procedimento che ho intenzione di usare è questo:
calcolo le coordinate generiche in cui la parabola interseca gli assi:
asse y: $A(0; (4+5m)/(m+1))$
asse x (ce ne sono due di intersezioni, ma io considero quella con ascissa minore): $B((2m+2-sqrt(-m^2-m))/(m+1)), 0)$. E a sto punto guardando ancora queste coordinate sono in crisi, ma vado avanti calcolando l'area di AOB, non mistilineo:
$A_(AOB)=bar(AO)bar(BO)*1/2=(10m^2+18m+8-sqrt(-m^2-m)(4+5m))/(2m^2+4m+2)$. Beh, io qua mi fermo e sorrido, avrò sicuramente commesso qualche errore. E' impossibile lavorare con cose del genere, in vista anche di quello che dovrò farci (infatti, se no erro, adesso devo calcolare l'area del segmento parabolico e sottrarlo all'area di AOB non mistilineo).
Aiutatemi vi prego!
Nel frattempo ho fatto il quarto punto, tutto giusto.
Ho cominciato anche il quinto, ma qui l'esercizio si fa veramente estremamente calcoloso.
Provo a tracciare un grafico della situazione.
[asvg]xmin = -2; xmax = 4; ymin = -1; ymax = 5; axes(); plot("y=x^2-4x+4"); stroke="red"; plot("y=-2x+4");[/asvg]
Devo porre che l'area della regione di piano delimitata dai semiassi positivi x e y e la parabola sia 8/3.
Il procedimento che ho intenzione di usare è questo:
calcolo le coordinate generiche in cui la parabola interseca gli assi:
asse y: $A(0; (4+5m)/(m+1))$
asse x (ce ne sono due di intersezioni, ma io considero quella con ascissa minore): $B((2m+2-sqrt(-m^2-m))/(m+1)), 0)$. E a sto punto guardando ancora queste coordinate sono in crisi, ma vado avanti calcolando l'area di AOB, non mistilineo:
$A_(AOB)=bar(AO)bar(BO)*1/2=(10m^2+18m+8-sqrt(-m^2-m)(4+5m))/(2m^2+4m+2)$. Beh, io qua mi fermo e sorrido, avrò sicuramente commesso qualche errore. E' impossibile lavorare con cose del genere, in vista anche di quello che dovrò farci (infatti, se no erro, adesso devo calcolare l'area del segmento parabolico e sottrarlo all'area di AOB non mistilineo).
Aiutatemi vi prego!
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