Esercizi sugli esponenziali

[Lucrezio1]

Salve a tutti! Ho un po' di difficoltà con alcuni esercizi su equazioni-disequazioni esponenziali.
Il primo esercizio è questo, vi faccio vedere anche i passaggi che sono riuscito a fare:

${(4^(y^2)-2^(4x)=0), ((625^xsqrt(25^x))/sqrt(125)=(1/5)^y):} -> {(y^2=4x), (5^(4x+x-3/2)=5^(-y)):} -> {(y^2=4x), (y=(3-10x)/2):} -> {(100x^2-76x+9=0), (y=(3-10x)/2):} $, e adesso mi viene discriminante negativo e il sistema è impossibile...dove ho sbagliato?

[Lucrezio1]

Mi sono accorto dell'errore rileggendo il post, ho sbagliato al primo passaggio, non me ne ero accorto

[Lucrezio1]

In ogni caso metto un altro esercizio che non mi è venuto. E' una disequazione esponenziale fratta:
$(9-3^x)/(9^x+3^2x)>27/2 -> (9-(1/3)^x)/(3^(2x)+3^(2x))>27/2$. Bene. Pongo $t=3^x>0$ per ogni x reale.
$9-1/t>27t^2 -> 27t^3-9t+1<0$.
Allora, due cose:
1. C'era t a denominatore, e io so benissimo che in una disequazione non si può moltiplicare ambo i membri per il denominatore se in esso è contenuta l'incognita, ma in questo caso posso avendo posto t uguale a un'esponenziale. Posso farlo o mi linciate?
2. Come faccio a risolvere quella disequazione? Ruffini non mi ispira tanto...

[chiaraotta1]

Se interpreto bene la disequazione, nel cui testo ci sono delle incongruenze, .....
$(9-3^x)/(9^x+3^(2x))>27/2 -> (9-3^x)/(3^(2x)+3^(2x))>27/2 ->(9-3^x)/(2*3^(2x))>27/2 ->(9-3^x)/(3^(2x))>27 ->9-3^x>27*3^(2x) ->27*3^2x+3^x-9<0$.
Risolvo la disequazione in $3^x$. Calcolo $Delta = 1-4*27*(-9)=973$, e radici: $(-1-sqrt(973))/(2*27)$ e $(-1+sqrt(973))/(2*27)$.
Le soluzioni sono
$(-1-sqrt(973))/(2*27)<3^x<(-1+sqrt(973))/(2*27)$.
Poiché $(-1-sqrt(973))/(2*27)<0$, allora $(-1-sqrt(973))/(2*27)<3^x$ è vera per ogni $x$.
Invece da $3^x<(-1+sqrt(973))/(2*27)$, prendendo i logaritmi in base $3$, trovo $x

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[Lucrezio1]

Servono per forza i logaritmi?
E poi, secondo te hanno sbagliato a scrivere il testo gli autori del libro?

[chiaraotta1]

Veramente le incongruenze sono in quello che hai scritto tu ....

"Lucrezio":
$(9-3^x)/(9^x+3^2x)>27/2 -> (9-(1/3)^x)/(3^(2x)+3^(2x))>27/2$.

Nell'espressione iniziale, a primo membro a numeratore c'è un $3^x$ che nel primo passaggio fai diventare $(1/3)^x$ ....
A denominatore c'è un $3^2x$ che poi diventa $3^(2x)$ ....
Com'era il testo originale?

[Lucrezio1]

sìsì al posto di 3^x c'è 3^(-x), e poi a denominatore 3^(2x)...
comunque gli autori forse hanno sbagliato perché escono numeri enormi!