Esercizi su circonferenza

[silvia0011]

Ciao ragazzi! Avrei bisogno di un aiutino con questi esercizi sulla circonferenza:
1) Tra le circonferenze passanti per A(1;0) e B(3;2), determina:
-quella passante per l'origine;
-quella che ha il centro sull'asse delle ascisse;
-quelle secanti la retta y+1=0;
-i possibili valori del raggio;
2) Scritta l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla retta t:4x+3y=0 e passante per A(0;2) determina le equazioni delle tangenti in A, B(3;1), D(4/3;-2/3) e l'area del triangolo formato dalle tangenti.

Dunque, per il primo esercizio suppongo che si possa iniziare facendo un sistema con due equazioni generali della circonferenza e poi sostituire ad esse i rispettivi valori x e y dei punti. Giusto?
Per il secondo invece non so proprio come iniziare...
Vi prego, aiutatemi!

[Caenorhabditis]

"silvia001":
Dunque, per il primo esercizio suppongo che si possa iniziare facendo un sistema con due equazioni generali della circonferenza e poi sostituire ad esse i rispettivi valori x e y dei punti. Giusto?

Sì (oppure, se preferisci, puoi trovare il centro vedendo dove si incontrano gli assi di due dei segmenti che puoi formare con tali punti).

"silvia001":
Per il secondo invece non so proprio come iniziare...

Sai che la circonferenza passa per l'origine e per (0;2), e questo ti dà già due delle tre equazioni che ti servono per trovare i tre parametri dell'equazione della circonferenza. Te ne serve anche un'altra, e per trovarla puoi considerare che il centro della circonferenza si trova sulla retta perpendicolare a $t$ e che passa per l'origine, cioè sulla retta

$3x-4y=0$.
Scrivendo quindi l'equazione della circonferenza come $x^2+y^2+ax+by+c$, e sapendo che il centro ha ascissa $-a/2$ e ordinata $-b/2$, ottieni

$\begin{cases}
0^2+0^2+a\cdot 0 + b\cdot 0 + c = 0 \\
0^2+2^2+a\cdot 0 + b\cdot 2 + c = 0 \\
3(-\frac{a}{2})-4(-\frac{b}{2})=0
\end{cases}$

[silvia0011]

Ok. Quindi, nel primo es, una volta fatto il sistema e sostituito i valori, ottengo due equazioni: x^2+y^2+a+c=0 e x^2+y^2+3a+2b+c=0. Ora cosa devo fare?

Nel secondo, ho risolto il sistema e viene fuori x^2+y^2-8/3x-2y=0. È corretto? Poi come si procede?

[silvia0011]

Ok, per il primo problema mi sono risposta da sola. xD
Ottengo quindi l'equazione x^2+y^2+(-c-1)x+(5-c)y+c=0.
Ora, ai primi due quesiti so rispondere, mentre agli ultimi due no.

[Caenorhabditis]

Ci sono diversi modi per trovare la tangente ad una conica che passa in uno specifico suo punto. Di solito il più semplice è la formula di sdoppiamento: per trovare la tangente nel punto $(x_P; y_P)$, sostituisci nell'equazione della conica $x^2$ con $x_P\cdot x$, $y^2$ con $y_P\cdot y$, $x$ con $\frac{x+x_P}{2}$ e $y$ con $\frac{y+y_P}{2}$. Otterrai l'equazione di una retta, che è tangente alla curva nel punto in questione.