Esercizi sistemi lineari letterali interi

[matt_dirnt]

ho un problema cn qst esercizi e se me ne fate uno cn relativa spiegazione ve ne sarei grato....i sistemi sn

(a + b)x - (a - b)y = 4ab
a(x + y) - b(x - y) = 2(a - b)(a + b)

e

x/b - y + b/b + 2 = 0
x - y + b = 0

grazie mille

[plum]

faccio il secondo: intanto b deve essere diverso da 0, altrimenti il sistema per de di significato; posto b div da 0, si ha

[math]\begin{cases}\frac xb-y+3=0\\x-y+b=0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}\frac xb-y+3=0\\x+b=y\end{cases}[/math]

visto che y=x+b, posso sostituire la y della prima equazione con x+b

[math]\begin{cases}\frac xb-(x+b)+3=0\\x+b=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}\frac xb-x-b+3=0\\x+b=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x(\frac1b-1)=b-3\\x+b=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x(\frac{1-b}b)=b-3\\x+b=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=\frac{b-3}{\frac{1-b}b}\\x+b=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=\frac{b^2-3b}{1-b}\\x+b=y\end{cases}[/math]

ora che ho trovato quanto vale x al variare di b, posso sostituire quanto ho trovato nella seconda equazione:

[math]\begin{cases}x=\frac{b^2-3b}{1-b}\\\frac{b^2-3b}{1-b}+b=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=\frac{b^2-3b}{1-b}\\\frac{b^2-3b}{1-b}+\frac{b-b^2}{1-b}=y\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=\frac{b^2-3b}{1-b}\\\frac{-2b}{1-b}=y\end{cases}[/math]

[matt_dirnt]

scusa nn mi sn spiegato bene...nella prima equazione
(x/b - y + b/b + 2 = 0) y + b sn entrambi fratti b...capito???

[ciampax]

Plum, ma come li risolvi sti esercizi? Garda che bisogna fare la discussione del sistema a seconda dei valori assunti dalle lettere.

Allora, prima di tutto, per risolvere un sistema letterale bisogna usare la regola di Cramer per le soluzioni: infatti un sistema di n equazioni in n incognite ammette n soluzioni se e solo se la matrice dei coefficienti delle incognite ha determinante diverso da zero.

Detto questo, svolgo il primo sistema che è

[math]\left\{\begin{array}{l}
(a+b)x-(a-b)y=4ab\\
a(x+y)-b(x-y)=2(a-b)(a+b)
\end{array}\right.[/math]

o anche

[math]\left\{\begin{array}{l}
(a+b)x-(a-b)y=4ab\\
(a-b)x+(a+b)y=2(a-b)(a+b)
\end{array}\right.[/math]

La matrice dei cofficienti è

[math]A=\left(\begin{array}{cc}
a+b & b-a\\
a-b & a+b
\end{array}\right)[/math]

il cui determinante è

[math]\Delta=(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)[/math]

Ora

[math]\Delta=0\Longleftrightarrow a=b=0[/math]

e in tal caso il sistema si riduce alle identità indefinite

[math]0=0[/math]

. Per

[math]a\neq 0, b\neq 0[/math]

abbiamo, essendo le matrici associate alle incognite uguali a

[math]X=\left(\begin{array}{cc}
4ab & b-a\\
2(a-b)(a+b) & a+b
\end{array}\right)\qquad Y=\left(\begin{array}{cc}
a+b & 4ab\\
a-b & 2(a-b)(a+b)
\end{array}\right)[/math]

rispettivamente, i cui determinanti sono

[math]\Delta_X=4ab(a+b)+2(a+b)(a-b)^2=2(a+b)(a^2+b^2)[/math]

e

[math]\Delta_Y=2(a+b)^2(a-b)-4ab(a-b)=2(a-b)(a^2+b^2)[/math]

la seguente soluzioni del sistema:

[math]x=\frac{\Delta_X}{\Delta}=a+b,\qquad y=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=a-b.[/math]

Spero sia chiaro. Prova con l'altro altrimenti fammi sapere. Ciao!

[plum]

ok, mi sono dimenticato della discussione, ma il mio metodo è pur giusto! non è obbligatorio usare cramer