Esercizi probabilità
Ho svolto un problema trovato su una dispensa che però non ha soluzione quindi non so' se ho svolto correttamente, eccolo
"Effettuando 10 lanci di una moneta qual'è la probabilità che si sia ottenuto testa in 4 lanci?"
Svolgimento:
Se indico con $a$ testa e $b$ croce devo trovare tutte le disposizioni con ripetizione di 2 elementi di classe 10, quindi
\(\displaystyle D_2^{10}=2^{10}=1024 \)
I casi favorevoli sono quelli in cui ci sono 4 teste e il resto sono croce, quindi fissando i primi 4 elementi ho altri 6 elementi uguali a croce, di questi devo trovare anche le permutazioni con ripetizione cioè
\(\displaystyle P_{10;4,6}=\frac{10!}{4!6!}=210\)
Saranno quindi i casi favorevoli, la probabilità dovrebbe essere
\(\displaystyle p=\frac{210}{1024}=\frac{105}{512}\cong 0,2051 \)
Quindi del $20,51\%$.
Ho svolto in modo giusto?
"Effettuando 10 lanci di una moneta qual'è la probabilità che si sia ottenuto testa in 4 lanci?"
Svolgimento:
Se indico con $a$ testa e $b$ croce devo trovare tutte le disposizioni con ripetizione di 2 elementi di classe 10, quindi
\(\displaystyle D_2^{10}=2^{10}=1024 \)
I casi favorevoli sono quelli in cui ci sono 4 teste e il resto sono croce, quindi fissando i primi 4 elementi ho altri 6 elementi uguali a croce, di questi devo trovare anche le permutazioni con ripetizione cioè
\(\displaystyle P_{10;4,6}=\frac{10!}{4!6!}=210\)
Saranno quindi i casi favorevoli, la probabilità dovrebbe essere
\(\displaystyle p=\frac{210}{1024}=\frac{105}{512}\cong 0,2051 \)
Quindi del $20,51\%$.
Ho svolto in modo giusto?
Risposte
Giusto. Forse non lo hai ancora studiato, ma potevi ottenere lo stesso risultato col seguente teorema:
Se un evento ha probabilità $p$ di verificarsi, la probabilità che esso avvenga $k$ volte in $n$ prove è
$p_(n,k)=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$
Se un evento ha probabilità $p$ di verificarsi, la probabilità che esso avvenga $k$ volte in $n$ prove è
$p_(n,k)=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$
No, infatti non l'ho ancora studiato, però penso che dovrò farlo.
Dovrei risolvere questo problema
Date due urne una contenente 2 palline bianche, 2 rosse e 3 blu, la seconda invece contiene 2 palline bianche, 6 rosse e 4 blu. Estraendo una pallina da ogni urna qual'è la probabilità che non esca nessuna pallina blu? E qual'è quella che entrambe le palline siano blu?
Vorrei sapere solo una cosa: centra qualcosa il teorema della probabilità composta?
Dovrei risolvere questo problema
Date due urne una contenente 2 palline bianche, 2 rosse e 3 blu, la seconda invece contiene 2 palline bianche, 6 rosse e 4 blu. Estraendo una pallina da ogni urna qual'è la probabilità che non esca nessuna pallina blu? E qual'è quella che entrambe le palline siano blu?
Vorrei sapere solo una cosa: centra qualcosa il teorema della probabilità composta?
Esercizio 2
Calcolare la probabilità che lanciando una moneta 5 volte esca testa per almeno 3 volte in successione.
Io ho provato a svolgerlo in questo modo:
Prima calcolo le disposizioni con ripetizione di 5 oggetti presi 5 alla volta, questo perché se i lanci devono essere in successione allora conta l'ordine.
\(\displaystyle D_2^5=2^5=32 \)
A questo punto il problema richiede di verificare tre eventi:
$E_1$: Uscita di testa una volta in 5 lanci.
$E_2$: Uscita di testa due volte in 5 lanci.
$E_3$: Uscita di testa tre volte in 5 lanci.
Quindi dovrò calcolare la probabilità del verificarsi di uno di questi eventi, poi se ho testa in 2 lanci il primo evento e il terzo evento non sono verificati, se il terzo è verificato non lo sono il primo e il secondo, ed anche se il primo è verificato il secondo e il terzo non lo sono, allora i 3 eventi sono incompatibili posso applicare la proprietà degli eventi incompatibili cioè
\(\displaystyle P(E)=P(E_1+E_2+E_3)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3) \)
Quindi devo calcolare la probabilità di ogni evento, devo calcolare i casi favorevoli di ogni eventi che sono le disposizioni che comprendono 1 o 2 o 3 eventi in successione, dato che sono in successione li prendo come unico elemento mentre gli altri devono per forza essere croce in quanto altrimenti l'evento non sarebbe verificato, quindi per il primo evento ho una sola testa e gli altri 4 lanci saranno croce, devo calcolare le permutazioni di 5 oggetti con ripetizione di 4 oggetti, ottengo
\(\displaystyle P_{5;4}=\frac{5!}{4!}=5 \)
La probabilità è quindi
\(\displaystyle P(E_1)=\frac{5}{32} \)
Per l'evento $E_2$ ho 2 teste e 3 croci, le 2 teste le considero come un solo elemento, così dovrò calcolare le permutazioni di 4 oggetti con ripetizione 3
\(\displaystyle P_{4;3}=\frac{4!}{3!}=4 \)
La probabilità è
\(\displaystyle P(E_2)=\frac{4}{32} \)
Per l'evento 3 ho 3 teste e 2 croci, le 3 teste le considero come unico elemento, devo calcolare quindi le permutazioni di 3 oggetti con ripetizione 2
\(\displaystyle P_{3;2}=\frac{3!}{2!}=3 \)
La probabilità è
\(\displaystyle P(E_3)=\frac{3}{32} \)
La probabilità del'evento generale è dato dalla somma delle singole probabilità, cioè
\(\displaystyle P(E)=\frac{5}{32}+\frac{4}{32}+\frac{3}{32}=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}=0,375 \)
La probabilità è quindi del 37,5$\%$.
La soluzione del testo però è sbagliata dice che è $\frac{5+2+1}{2^5}$ che sarebbe 0,25 quindi del 25$\%$.
Cosa ho sbagliato?
Calcolare la probabilità che lanciando una moneta 5 volte esca testa per almeno 3 volte in successione.
Io ho provato a svolgerlo in questo modo:
Prima calcolo le disposizioni con ripetizione di 5 oggetti presi 5 alla volta, questo perché se i lanci devono essere in successione allora conta l'ordine.
\(\displaystyle D_2^5=2^5=32 \)
A questo punto il problema richiede di verificare tre eventi:
$E_1$: Uscita di testa una volta in 5 lanci.
$E_2$: Uscita di testa due volte in 5 lanci.
$E_3$: Uscita di testa tre volte in 5 lanci.
Quindi dovrò calcolare la probabilità del verificarsi di uno di questi eventi, poi se ho testa in 2 lanci il primo evento e il terzo evento non sono verificati, se il terzo è verificato non lo sono il primo e il secondo, ed anche se il primo è verificato il secondo e il terzo non lo sono, allora i 3 eventi sono incompatibili posso applicare la proprietà degli eventi incompatibili cioè
\(\displaystyle P(E)=P(E_1+E_2+E_3)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3) \)
Quindi devo calcolare la probabilità di ogni evento, devo calcolare i casi favorevoli di ogni eventi che sono le disposizioni che comprendono 1 o 2 o 3 eventi in successione, dato che sono in successione li prendo come unico elemento mentre gli altri devono per forza essere croce in quanto altrimenti l'evento non sarebbe verificato, quindi per il primo evento ho una sola testa e gli altri 4 lanci saranno croce, devo calcolare le permutazioni di 5 oggetti con ripetizione di 4 oggetti, ottengo
\(\displaystyle P_{5;4}=\frac{5!}{4!}=5 \)
La probabilità è quindi
\(\displaystyle P(E_1)=\frac{5}{32} \)
Per l'evento $E_2$ ho 2 teste e 3 croci, le 2 teste le considero come un solo elemento, così dovrò calcolare le permutazioni di 4 oggetti con ripetizione 3
\(\displaystyle P_{4;3}=\frac{4!}{3!}=4 \)
La probabilità è
\(\displaystyle P(E_2)=\frac{4}{32} \)
Per l'evento 3 ho 3 teste e 2 croci, le 3 teste le considero come unico elemento, devo calcolare quindi le permutazioni di 3 oggetti con ripetizione 2
\(\displaystyle P_{3;2}=\frac{3!}{2!}=3 \)
La probabilità è
\(\displaystyle P(E_3)=\frac{3}{32} \)
La probabilità del'evento generale è dato dalla somma delle singole probabilità, cioè
\(\displaystyle P(E)=\frac{5}{32}+\frac{4}{32}+\frac{3}{32}=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}=0,375 \)
La probabilità è quindi del 37,5$\%$.
La soluzione del testo però è sbagliata dice che è $\frac{5+2+1}{2^5}$ che sarebbe 0,25 quindi del 25$\%$.
Cosa ho sbagliato?
Di avere 5 teste consecutive c'è una sola possibiltà: TTTTT
Di averne 4 ce ne sono due: TTTTC - CTTTT
Di averne 3 ce ne sono cinque: TTTCC - TTTCT - CTTTC - CCTTT - TCTTT
In totale 8 casi favorevoli su 32 possibili.
$8/32=1/4=0,25=25%$
Di averne 4 ce ne sono due: TTTTC - CTTTT
Di averne 3 ce ne sono cinque: TTTCC - TTTCT - CTTTC - CCTTT - TCTTT
In totale 8 casi favorevoli su 32 possibili.
$8/32=1/4=0,25=25%$
Ah forse ho confuso io l'esercizio, infatti invece di prendere da 3 a 5 ho preso da 1 a 3 teste e non ho considerato che in una combinazione gli altri lanci possano essere anche testa, grazie mille 
Esercizio 3
Date 5 urne in cui le prime due contengo 2 palle bianche e una nera, la terza e la quarta 3 palle bianche e una nera mentre la quinta solo 10 palle nere. Calcolare la probabilità che la pallina sia estratta da una delle due urne contenenti 3 palle bianche e una nera, sapendo anche che la palla estratta è bianca.
Per risolvere l'esercizio ho considerato tre eventi:
L'evento $E_1$ che indica l'estrazione della pallina bianca.
L'evento $E_2$ che indica l'estrazione della pallina dalla terza urna
L'evento $E_3$ che indica l'estrazione della pallina dalla quarta urna
L'evento della probabilità richiesta dovrebbe essere un'evento verificato quando o si verifica l'evento $E_1$ con l'evento $E_2$ oppure se si verifica l'evento $E_1$ e l'evento $E_3$, quindi
\(\displaystyle E=E_1 \cdot E_2+E_1 \cdot E_3 \)
A questo punto applico la probabilità, gli eventi prodotto a secondo membro sono incompatibili perché solo uno può verificarsi e quindi la probabilità dell'evento è la somma delle probabilità di questi due eventi, cioè
\(\displaystyle P(E)=P(E_1 \cdot E_2+E_1 \cdot E_3)=P(E_1 \cdot E_2)+P(E_1 \cdot E_3) \)
A questo punto applico la probabilità moltiplicativa ottenendo
\(\displaystyle P(E)=P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)+P(E_3) \cdot P(E_1|E_3) \)
A questo punto essendo le urne uguali e anche la probabilità di estrazione da un'urna dovrei avere che
\(\displaystyle P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)=P(E_3) \cdot P(E_1|E_3) \)
Quindi
\(\displaystyle P(E)=2P(E_2) \cdot P(E_1|E_2) \)
Calcolando le probabilità dovrei avere:
\(\displaystyle P(E_2)=\frac{1}{5} \)
Per la probabilità condizionata invece dovrei avere:
\(\displaystyle P(E_1|E_2)=\frac{3}{4} \)
A questo punto calcolo la probabilità $P(E)$ sostituendo i valori
\(\displaystyle P(E)=2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0,3 \)
Non so' cosa ho sbagliato, ma dovo ho preso l'esercizio mi dice che la soluzione è pari a circa 0,52, mi dite che errore ho commesso per favore e come si risolve, grazie mille in anticipo .
Date 5 urne in cui le prime due contengo 2 palle bianche e una nera, la terza e la quarta 3 palle bianche e una nera mentre la quinta solo 10 palle nere. Calcolare la probabilità che la pallina sia estratta da una delle due urne contenenti 3 palle bianche e una nera, sapendo anche che la palla estratta è bianca.
Per risolvere l'esercizio ho considerato tre eventi:
L'evento $E_1$ che indica l'estrazione della pallina bianca.
L'evento $E_2$ che indica l'estrazione della pallina dalla terza urna
L'evento $E_3$ che indica l'estrazione della pallina dalla quarta urna
L'evento della probabilità richiesta dovrebbe essere un'evento verificato quando o si verifica l'evento $E_1$ con l'evento $E_2$ oppure se si verifica l'evento $E_1$ e l'evento $E_3$, quindi
\(\displaystyle E=E_1 \cdot E_2+E_1 \cdot E_3 \)
A questo punto applico la probabilità, gli eventi prodotto a secondo membro sono incompatibili perché solo uno può verificarsi e quindi la probabilità dell'evento è la somma delle probabilità di questi due eventi, cioè
\(\displaystyle P(E)=P(E_1 \cdot E_2+E_1 \cdot E_3)=P(E_1 \cdot E_2)+P(E_1 \cdot E_3) \)
A questo punto applico la probabilità moltiplicativa ottenendo
\(\displaystyle P(E)=P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)+P(E_3) \cdot P(E_1|E_3) \)
A questo punto essendo le urne uguali e anche la probabilità di estrazione da un'urna dovrei avere che
\(\displaystyle P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)=P(E_3) \cdot P(E_1|E_3) \)
Quindi
\(\displaystyle P(E)=2P(E_2) \cdot P(E_1|E_2) \)
Calcolando le probabilità dovrei avere:
\(\displaystyle P(E_2)=\frac{1}{5} \)
Per la probabilità condizionata invece dovrei avere:
\(\displaystyle P(E_1|E_2)=\frac{3}{4} \)
A questo punto calcolo la probabilità $P(E)$ sostituendo i valori
\(\displaystyle P(E)=2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0,3 \)
Non so' cosa ho sbagliato, ma dovo ho preso l'esercizio mi dice che la soluzione è pari a circa 0,52, mi dite che errore ho commesso per favore
e come si risolve, grazie mille in anticipo .
Sapendo che la pallina estratta è bianca, dobbiamo escludere a priori la quinta urna (contiene solo palline nere).
La probabilità che dalle varie urne venga estratta una pallina bianca è pertanto:
urna 1: $2/3*1/4=1/6$
urna 2: $2/3*1/4=1/6$
urna 3: $3/4*1/4=3/16$
urna 4: $3/4*1/4=3/16$
Probabilità totale $1/6+1/6+3/16+3/16=(8+8+9+9)/48=(16+18)/48=34/48$
Adesso la probabilità che la pallina sia estratta da una delle due urne con tre palline bianche e una nera è: $(18/48)/(34/48)=18/48*48/34=18/34=0,529412$
La probabilità che dalle varie urne venga estratta una pallina bianca è pertanto:
urna 1: $2/3*1/4=1/6$
urna 2: $2/3*1/4=1/6$
urna 3: $3/4*1/4=3/16$
urna 4: $3/4*1/4=3/16$
Probabilità totale $1/6+1/6+3/16+3/16=(8+8+9+9)/48=(16+18)/48=34/48$
Adesso la probabilità che la pallina sia estratta da una delle due urne con tre palline bianche e una nera è: $(18/48)/(34/48)=18/48*48/34=18/34=0,529412$
Da dove viene quel
\(\displaystyle \frac{18}{48}\)?
\(\displaystyle \frac{18}{48}\)?
C'era scritto nella riga precedente: $(16+18)/48=34/48$
Esercizio 4
In un contenitore ci sono 3 monete di cui due sono perfette ed una truccata (la probabilità che lanciandola esca testa è pari a $1/3$), Estraendo due monete a caso dal contenitore, qual è la probabilità che tra esse non vi sia quella truccata, sapendo che lanciandole una volta si è ottenuto due teste?
Su questo esercizio ci sto su da 3 giorni, un po' perché non mi venivano idee di soluzione e un po' per il poco tempo che ho avuto, io l'ho svolto solo che nell'esercizio non c'era il risultato per questo chiedo conferma dello svolgimento, altrimenti in che modo si può risolvere l'esercizio, il mio svolgimento è il seguente:
Considero $E_1$ l'evento ''estrazione prima moneta non truccata'', $E_2$ l'evento ''seconda estrazione moneta non truccata'', poi $E_3$ l'evento ''uscita testa nel lancio della prima moneta'' ed $E_4$ l'evento ''uscita testa nel lancio della seconda moneta'', a questo punto tutti questi eventi dovrebbero essere contemporaneamente verificati, quindi l'evento principale sarà il prodotto di tutti questi
\(\displaystyle E=E_1 \cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_4 \)
Applico la probabilità
\(\displaystyle P(E)=P(E_1 \cdot E_2 \cdot E_3 \cdot E_4) \)
Poi la probabilità moltiplicativa ed dovrei ottenere
\(\displaystyle P(E_3 \cdot E_4|E_1 \cdot E_2) \cdot P(E_1 \cdot E_2) \)
Poi lo faccio anche sul secondo
\(\displaystyle P(E_3 \cdot E_4|E_1 \cdot E_2) \cdot P(E_2|E_1) \cdot P(E_1) \)
La probabilità di $E_1$ dovrebbe essere di 2 casi su 3, mentre quella condizionata di soli 1 caso su 2, quindi
\(\displaystyle P(E_2|E_1) \cdot P(E_1)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3} \)
Poi dovrei calcolare la probabilità del primo evento condizionato, cioè dovrei calcolare la probabilità che lanciando due monete normali si ottenga testa sapendo che sono entrambe non truccate, quindi dovrei semplicemente calcolare
\(\displaystyle P(E_3 \cdot E_4)=P(E_3) \cdot P(E_4)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \)
Unendo tutto la probabilità dovrebbe essere
\(\displaystyle P(E)=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12} \)
Per voi è giusto il ragionamento? io non ne sono molto convinto, ma è l'unica idea che mi è venuta in mente.
In un contenitore ci sono 3 monete di cui due sono perfette ed una truccata (la probabilità che lanciandola esca testa è pari a $1/3$), Estraendo due monete a caso dal contenitore, qual è la probabilità che tra esse non vi sia quella truccata, sapendo che lanciandole una volta si è ottenuto due teste?
Su questo esercizio ci sto su da 3 giorni, un po' perché non mi venivano idee di soluzione e un po' per il poco tempo che ho avuto, io l'ho svolto solo che nell'esercizio non c'era il risultato per questo chiedo conferma dello svolgimento, altrimenti in che modo si può risolvere l'esercizio, il mio svolgimento è il seguente:
Considero $E_1$ l'evento ''estrazione prima moneta non truccata'', $E_2$ l'evento ''seconda estrazione moneta non truccata'', poi $E_3$ l'evento ''uscita testa nel lancio della prima moneta'' ed $E_4$ l'evento ''uscita testa nel lancio della seconda moneta'', a questo punto tutti questi eventi dovrebbero essere contemporaneamente verificati, quindi l'evento principale sarà il prodotto di tutti questi
\(\displaystyle E=E_1 \cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_4 \)
Applico la probabilità
\(\displaystyle P(E)=P(E_1 \cdot E_2 \cdot E_3 \cdot E_4) \)
Poi la probabilità moltiplicativa ed dovrei ottenere
\(\displaystyle P(E_3 \cdot E_4|E_1 \cdot E_2) \cdot P(E_1 \cdot E_2) \)
Poi lo faccio anche sul secondo
\(\displaystyle P(E_3 \cdot E_4|E_1 \cdot E_2) \cdot P(E_2|E_1) \cdot P(E_1) \)
La probabilità di $E_1$ dovrebbe essere di 2 casi su 3, mentre quella condizionata di soli 1 caso su 2, quindi
\(\displaystyle P(E_2|E_1) \cdot P(E_1)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3} \)
Poi dovrei calcolare la probabilità del primo evento condizionato, cioè dovrei calcolare la probabilità che lanciando due monete normali si ottenga testa sapendo che sono entrambe non truccate, quindi dovrei semplicemente calcolare
\(\displaystyle P(E_3 \cdot E_4)=P(E_3) \cdot P(E_4)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \)
Unendo tutto la probabilità dovrebbe essere
\(\displaystyle P(E)=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12} \)
Per voi è giusto il ragionamento? io non ne sono molto convinto, ma è l'unica idea che mi è venuta in mente.
Le probabilità che escano 2 teste sono le seguenti:
$1/12$ se entrambe le monete sono perfette;
$1/18$ se la prima moneta è perfetta e la seconda è truccata.
$1/18$ se la prima moneta è truccata e la seconda è perfetta.
La probabilità totale di ottenere 2 teste è perciò $1/12+1/18+1/18=(3+2+2)/36=7/36$
Pertanto, sapendo che sono uscite due teste, la probabilità che siano state estratte le due monete perfette è $(3/36)/(7/36)=3/36*36/7=3/7$
$1/12$ se entrambe le monete sono perfette;
$1/18$ se la prima moneta è perfetta e la seconda è truccata.
$1/18$ se la prima moneta è truccata e la seconda è perfetta.
La probabilità totale di ottenere 2 teste è perciò $1/12+1/18+1/18=(3+2+2)/36=7/36$
Pertanto, sapendo che sono uscite due teste, la probabilità che siano state estratte le due monete perfette è $(3/36)/(7/36)=3/36*36/7=3/7$
Esercizio 5
In un gioco tra due persone una di esse mette in posizione casuale $5$ pietre sotto $20$ bicchieri che, all'insaputa dell'altra persona, mischia per rendere la posizione più casuale. Qual è la probabilità che la seconda persona trovi $3$ pietre sollevandone $8$?
Io ho applicato la formula della distribuzione di probabilità con $n=8$ e $k=3$, la probabilità $p$ è invece quella in cui sollevando un bicchiere trovo una pietra che dovrebbe essere pari a
\(\displaystyle p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)
Quindi applicando la formula trovo
\(\displaystyle {8 \choose 3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)^{8-3}\cong 0,2076\)
Circa il $20,76\%$.
Ho svolto correttamente l'esercizio (Non ho la soluzione), grazie
In un gioco tra due persone una di esse mette in posizione casuale $5$ pietre sotto $20$ bicchieri che, all'insaputa dell'altra persona, mischia per rendere la posizione più casuale. Qual è la probabilità che la seconda persona trovi $3$ pietre sollevandone $8$?
Io ho applicato la formula della distribuzione di probabilità con $n=8$ e $k=3$, la probabilità $p$ è invece quella in cui sollevando un bicchiere trovo una pietra che dovrebbe essere pari a
\(\displaystyle p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)
Quindi applicando la formula trovo
\(\displaystyle {8 \choose 3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)^{8-3}\cong 0,2076\)
Circa il $20,76\%$.
Ho svolto correttamente l'esercizio (Non ho la soluzione), grazie
Ciao.
Non puoi applicare la probabilità di $1/4$.
Se ad esempio dovessimo trovare la probabilità che sollevando 3 bicchieri si scoprano tre pietre, il calcolo non sarebbe $(1/4)^3$ ma $5/20*4/19*3/18$
La soluzione del tuo quesito è: $5/20*4/19*3/18*15/17*14/16*13/15*12/14*11/13*56=77/323=23,84%$
Non puoi applicare la probabilità di $1/4$.
Se ad esempio dovessimo trovare la probabilità che sollevando 3 bicchieri si scoprano tre pietre, il calcolo non sarebbe $(1/4)^3$ ma $5/20*4/19*3/18$
La soluzione del tuo quesito è: $5/20*4/19*3/18*15/17*14/16*13/15*12/14*11/13*56=77/323=23,84%$
Edit: Ho capito il mio errore, consideravo le probabilità di ogni sollevamento uguali mentre cambia per ogni numero di bicchieri sollevati quindi non posso applicare la distribuzione binomiale. Comunque non ho capito qual'è la formula che hai applicato, potresti spiegarmi per favore?
Esercizio 6
In un'urna ci sono $3$ palline bianche, $4$ rosse, $5$ nere e $7$ verdi, estraendo $4$ palline effettuando il reimbussolamento dopo ogni estrazione qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ palline verdi.?
In questo esercizio dovrei poter applicare la distribuzione binomiale, verrebbe quindi
\(\displaystyle {4 \choose 2} \cdot \left(\frac{7}{19}\right)^2 \cdot \left(1-\frac{7}{19}\right)^{4-2}=\frac{42336}{130321}\cong 0,3249\)
Trovo come risultato il $32,49\%$. Spero che almeno questo sono riuscito a risolverlo correttamente.
Esercizio 6
In un'urna ci sono $3$ palline bianche, $4$ rosse, $5$ nere e $7$ verdi, estraendo $4$ palline effettuando il reimbussolamento dopo ogni estrazione qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ palline verdi.?
In questo esercizio dovrei poter applicare la distribuzione binomiale, verrebbe quindi
\(\displaystyle {4 \choose 2} \cdot \left(\frac{7}{19}\right)^2 \cdot \left(1-\frac{7}{19}\right)^{4-2}=\frac{42336}{130321}\cong 0,3249\)
Trovo come risultato il $32,49\%$. Spero che almeno questo sono riuscito a risolverlo correttamente.
Ciao.
L'esercizio N. 6 l'hai svolto correttamente.
Per quanto riguarda il N. 5, il mio ragionamento è stato questo:
La probabilità che sotto il primo bicchiere ci sia la pietra è $5/20$.
Che ci sia anche sotto il secondo è $4/19$.
Che ci sia anche sotto l terzo è $3/18$.
Che non ci sia sotto il quarto è $15/17$.
Che non ci sia sotto il quinto è $14/16$.
Etc. Etc.
Siccome i bicchieri "buoni" non devono essere necessariamente i primi tre, ma possono essere in qualsiasi delle otto posizioni, ho moltiplicato per 56, che sarebbero le combinazioni di 8 elementi a gruppi di 3.
L'esercizio N. 6 l'hai svolto correttamente.
Per quanto riguarda il N. 5, il mio ragionamento è stato questo:
La probabilità che sotto il primo bicchiere ci sia la pietra è $5/20$.
Che ci sia anche sotto il secondo è $4/19$.
Che ci sia anche sotto l terzo è $3/18$.
Che non ci sia sotto il quarto è $15/17$.
Che non ci sia sotto il quinto è $14/16$.
Etc. Etc.
Siccome i bicchieri "buoni" non devono essere necessariamente i primi tre, ma possono essere in qualsiasi delle otto posizioni, ho moltiplicato per 56, che sarebbero le combinazioni di 8 elementi a gruppi di 3.
Quindi hai considerato che le probabilità di ogni combinazione siano uguali, poi per la singola combinazione hai applicato la probabilità composta, giusto?
Esercizio 7
Un calciatore ha la probabilità di segnare una rete pari al $60\%$. Calcolare la probabilità che riesce ad effettuare una rete al primo tiro e dopo 6 tiri.
Il problema non da le soluzioni per questo non so' se ho svolto correttamente.
Penso si deve utilizzare la formula della distribuzione geometrica con $n$ pari a 1 e a 6, quindi
\(\displaystyle P(X=1)=\frac{3}{5}=0,6\)
Se il giocatore segna dopo 6 tiri dovrebbe segnare al 7 tiro quindi, allora $X=7$
\(\displaystyle P(X=7)=\frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{7-1}\cong 0,0025\)
Per voi ho risolto bene l'esercizio? Ho un dubbio sul secondo calcolo forse dovrebbe essere $X=6$ e non $X=7$.
Un calciatore ha la probabilità di segnare una rete pari al $60\%$. Calcolare la probabilità che riesce ad effettuare una rete al primo tiro e dopo 6 tiri.
Il problema non da le soluzioni per questo non so' se ho svolto correttamente.
Penso si deve utilizzare la formula della distribuzione geometrica con $n$ pari a 1 e a 6, quindi
\(\displaystyle P(X=1)=\frac{3}{5}=0,6\)
Se il giocatore segna dopo 6 tiri dovrebbe segnare al 7 tiro quindi, allora $X=7$
\(\displaystyle P(X=7)=\frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{7-1}\cong 0,0025\)
Per voi ho risolto bene l'esercizio? Ho un dubbio sul secondo calcolo forse dovrebbe essere $X=6$ e non $X=7$.
La riposta alla prima domanda è corretta.
Per quanto riguarda la seconda domanda ritengo che per "dopo sei tiri", si intenda al sesto tiro.
Pertanto x=6. Per il resto è corretto.
Per quanto riguarda la seconda domanda ritengo che per "dopo sei tiri", si intenda al sesto tiro.
Pertanto x=6. Per il resto è corretto.
Questione di gusti: per "dopo sei tiri" io intenderei il settimo tiro. Il problema è decisamente mal esposto e, a stretto rigore di termini, sono possibili anche altre due interpretazioni:
1) "dopo sei tiri" significa "in un qualsiasi colpo successivo al sesto" ed è certo che in infiniti colpi ci sarà almeno un centro;
2) poiché non dice "per la prima volta dopo sei tiri" possono essere centri anche i primi.
Certo, l'abitudine è non intenderli così ma non sta bene affidarsi solo all'abitudine.
1) "dopo sei tiri" significa "in un qualsiasi colpo successivo al sesto" ed è certo che in infiniti colpi ci sarà almeno un centro;
2) poiché non dice "per la prima volta dopo sei tiri" possono essere centri anche i primi.
Certo, l'abitudine è non intenderli così ma non sta bene affidarsi solo all'abitudine.
Esercizio 8
Un certo prodotto è costituito da $3$ componenti. La lunghezza totale del prodotto è uguale alla somma delle 3 lunghezze $X_1,X_2,X_3$ delle sue componenti, supponiamo inoltre che tali lunghezze siano, a causa della variabilità della produzione, delle variabili aleatorie indipendenti, ognuna distribuita con le seguenti medie e varianze:
\(\displaystyle \mu_1=1 \qquad \sigma_1^2=0.002 \)
\(\displaystyle \mu_2=2 \qquad \sigma_2^2=0.01 \)
\(\displaystyle \mu_3=3 \qquad \sigma_3^2=0.01 \)
Su 100 prodotti scelti a caso quanti ce ne possiamo aspettare di lunghezza compresa tra 5.8 e 6.2?
Per calcolare la probabilità su 100 prodotti volevo farlo con la proporzionalità dei rapporti (cioè se su $n$ prodotti ci si aspetta di trovarne $s$ del caso considerato allora su $2n$ prodotti ci si aspetta di trovarne $2s$), ma mi serve la probabilità che un singolo prodotto sia nella lunghezza definita (cioè il rapporto $s/n$), non so' però come trovarla, penso si debba applicare qualche formula, io conosco quelle delle distribuzioni particolari come la distribuzione binomiale, ma non sono sicuro che si debbano applicare quelle. Avete dei consigli che mi aiutino a risolvere l'esercizio?
Un certo prodotto è costituito da $3$ componenti. La lunghezza totale del prodotto è uguale alla somma delle 3 lunghezze $X_1,X_2,X_3$ delle sue componenti, supponiamo inoltre che tali lunghezze siano, a causa della variabilità della produzione, delle variabili aleatorie indipendenti, ognuna distribuita con le seguenti medie e varianze:
\(\displaystyle \mu_1=1 \qquad \sigma_1^2=0.002 \)
\(\displaystyle \mu_2=2 \qquad \sigma_2^2=0.01 \)
\(\displaystyle \mu_3=3 \qquad \sigma_3^2=0.01 \)
Su 100 prodotti scelti a caso quanti ce ne possiamo aspettare di lunghezza compresa tra 5.8 e 6.2?
Per calcolare la probabilità su 100 prodotti volevo farlo con la proporzionalità dei rapporti (cioè se su $n$ prodotti ci si aspetta di trovarne $s$ del caso considerato allora su $2n$ prodotti ci si aspetta di trovarne $2s$), ma mi serve la probabilità che un singolo prodotto sia nella lunghezza definita (cioè il rapporto $s/n$), non so' però come trovarla, penso si debba applicare qualche formula, io conosco quelle delle distribuzioni particolari come la distribuzione binomiale, ma non sono sicuro che si debbano applicare quelle. Avete dei consigli che mi aiutino a risolvere l'esercizio?
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