Esercizi iperbole 2
Sto svolgendo questi altri 2 esercizi sull'iperbole equilatera, ma mi sto perdendo un po' nei passaggi ... help
1) Calcola l'equazione dell'iperbole equilatera, riferita agli asintoti, che stacca sulla retta di equazione y=-2x+1 una corda che misura (7/2)radical5.
Secondo me in questo esercizio, bisogna sostituire il valore della corda nella retta ma poi non so come proseguire. Forse un sistema?
2) Determina l'equazione dell'iperbole equilatera, riferita agli asintoti, tangente alla retta di equazione y=5x-10
Non ho mai svolto un esercizio del genere: di solito erano al contrario. Forse bisogna mettere a sistema l'eq dell'iperbole (ma quale?? come trovarla?) e quella della retta per trovare il punto in comune... non lo so.
Potete aiutarmi nei passaggi? grazie
1) Calcola l'equazione dell'iperbole equilatera, riferita agli asintoti, che stacca sulla retta di equazione y=-2x+1 una corda che misura (7/2)radical5.
Secondo me in questo esercizio, bisogna sostituire il valore della corda nella retta ma poi non so come proseguire. Forse un sistema?
2) Determina l'equazione dell'iperbole equilatera, riferita agli asintoti, tangente alla retta di equazione y=5x-10
Non ho mai svolto un esercizio del genere: di solito erano al contrario. Forse bisogna mettere a sistema l'eq dell'iperbole (ma quale?? come trovarla?) e quella della retta per trovare il punto in comune... non lo so.
Potete aiutarmi nei passaggi? grazie
Risposte
2) Metti a sistema l'equazione della retta , che conosci e quella della iperbole equilatera che non conosci ma che sarà del tipo $xy = k $ , con $k $ da determinare.
Il sistema che devi risolvere è quindi
$y=5x-10$
$xy=k $ .
Arriverai a una equazione di secondo grado . ad es. in $x $ .
Vuoi che le due curve siano tangenti, che "si tocchino" quindi in un unico punto ; quindi l'equazione deve avere una sola soluzione il che avviene se il discriminante vale ....
Dovresti trovare $ k = -5 $.
Il sistema che devi risolvere è quindi
$y=5x-10$
$xy=k $ .
Arriverai a una equazione di secondo grado . ad es. in $x $ .
Vuoi che le due curve siano tangenti, che "si tocchino" quindi in un unico punto ; quindi l'equazione deve avere una sola soluzione il che avviene se il discriminante vale ....
Dovresti trovare $ k = -5 $.
"Camillo":
2) Metti a sistema l'equazione della retta , che conosci e quella della iperbole equilatera che non conosci ma che sarà del tipo $xy = k $ , con $k $ da determinare.
Il sistema che devi risolvere è quindi
$y=5x-10$
$xy=k $ .
Arriverai a una equazione di secondo grado . ad es. in $x $ .
Vuoi che le due curve siano tangenti, che "si tocchino" quindi in un unico punto ; quindi l'equazione deve avere una sola soluzione il che avviene se il discriminante vale ....
Dovresti trovare $ k = -5 $.
Ho messo a sistema in questo modo:
y=5x-10
xy=k
in cui ho sostituito nella seconda:
y=5x-10
x(5x-10)=k
Ma adesso cosa devo trovare? Come proseguo? grazie
"Camillo":
2) Metti a sistema l'equazione della retta , che conosci e quella della iperbole equilatera che non conosci ma che sarà del tipo $xy = k $ , con $k $ da determinare.
Il sistema che devi risolvere è quindi
$y=5x-10$
$xy=k $ .
Arriverai a una equazione di secondo grado . ad es. in $x $ .
Vuoi che le due curve siano tangenti, che "si tocchino" quindi in un unico punto ; quindi l'equazione deve avere una sola soluzione il che avviene se il discriminante vale ....
Dovresti trovare $ k = -5 $.
e il discriminante vale .... zero. Quindi devo imporre il delta = 0.
Da cui ho ricavato
100+20K=0
k=-5 quindi -> xy=-5
Grazie. Riesci a darmi dei consigli anche sul primo esercizio?
Sviluppa i conti e ottieni
$5x^2-10x-k =0 $ equazione di secondo grado la cui soluzione fornisce le ascisse dei punti di intersezione retta/ iperbole .
Ma noi vogliamo che le due curve siano tangenti e quindi vogliamo che la soluzione sia una sola ( o meglio una soluzione doppia); questo avviene se il discriminante ( o delta ) dell'equazione di secondo grado vale $ 0 $ .
Quindi $ 100+20 k = 0 $ da cui $ k = -5 $.
L'equazione dell'iperbole è dunque $ xy =-5 $.
$5x^2-10x-k =0 $ equazione di secondo grado la cui soluzione fornisce le ascisse dei punti di intersezione retta/ iperbole .
Ma noi vogliamo che le due curve siano tangenti e quindi vogliamo che la soluzione sia una sola ( o meglio una soluzione doppia); questo avviene se il discriminante ( o delta ) dell'equazione di secondo grado vale $ 0 $ .
Quindi $ 100+20 k = 0 $ da cui $ k = -5 $.
L'equazione dell'iperbole è dunque $ xy =-5 $.
Si grazie. Ci sono riuscita nel secondo esercizio. Ti chiedevo un aiuto anche per il primo, se puoi ... grazie
Non riesci a fare proprio nessun passaggio per il primo esercizio?
A provato a impostarlo almeno o non ti trovi con il risultato?
A provato a impostarlo almeno o non ti trovi con il risultato?
Non riesco a impostarlo ... non capisco come posso andare a sostituire quel valore della corda e dove .... se non capisco da dove partire non riesco ad andare avanti ...
Prova a ragionarci un attimo.
Tu hai il valore della corda, cioè in pratica hai il valore della distanza tra i due punti intersezione dell'iperbole con la retta..
Quindi come prima cosa devi calcolarti questi punti, ovviamente ti verranno valori dipendenti da k..
Poi devi porre la distanza tra essi uguale alla lunghezza della corda.
Tu hai il valore della corda, cioè in pratica hai il valore della distanza tra i due punti intersezione dell'iperbole con la retta..
Quindi come prima cosa devi calcolarti questi punti, ovviamente ti verranno valori dipendenti da k..
Poi devi porre la distanza tra essi uguale alla lunghezza della corda.
Non capisco come fare a calcolare i due punti... Devo fare un sistema?
Si il sistema tra l'equazione dell'iperbole e l'equazione della retta
"leena":
Si il sistema tra l'equazione dell'iperbole e l'equazione della retta
xy=k
y=-2x+1
x(-2x + 1) = K
y=-2x+1
-2x^2+x-k=0
y=-2x+1
e adesso come faccio a trovare i due i punti? non ho capito in che senso in funzione di k? ....
"bree08":
-2x^2+x-k=0
y=-2x+1
e adesso come faccio a trovare i due i punti? non ho capito in che senso in funzione di k? ....
Risolvi l'equazione
$-2x^2+x-k=0$ cioè $2x^2-x+k=0$
ottieni due valori della x, poi trovati i valori corrispondenti della y, e ottieni i due punti!
mi trovo il delda minore di 0 .... dove sbaglio?
2x^2 - x + k = 0
delta = 1-8 =-7
2x^2 - x + k = 0
delta = 1-8 =-7
il delta è 1-8k...
basta solo imporre la limitazione $1-8k>=0$, cioè $k<=1/8$
basta solo imporre la limitazione $1-8k>=0$, cioè $k<=1/8$
ok... ho trovato i valori delle 2 x e delle 2 y ... ora come procedo?
Devo sostituire qualcosa?
Devo sostituire qualcosa?
Adesso hai i due punti, che sono intersezioni tra la retta e l'ellisse, giusto?
Quindi non sono altro che i punti estremi della corda..
Se calcoli la distanza tra questi due punti deve essere pari alla lunghezza della corda.
Così ti troverai un'equazione in k, risolvendola avrai il valore di k.
Quindi non sono altro che i punti estremi della corda..
Se calcoli la distanza tra questi due punti deve essere pari alla lunghezza della corda.
Così ti troverai un'equazione in k, risolvendola avrai il valore di k.
Che casino... non ci riuscirò mai ...
Sinceramente non so se c'è un altro modo più breve.
A me è venuto solo questo in mente.
Comunque almeno l'importante è che capisci tutto il procedimento in generale..
A me è venuto solo questo in mente.
Comunque almeno l'importante è che capisci tutto il procedimento in generale..
"bree08":
Che casino... non ci riuscirò mai ...
non è poi così complicato.
se hai seguito le indicazioni di leena dovresti essere qui:
$P((1-sqrt(1-8k))/4;(1+sqrt(1-8k))/2)$ e $Q((1+sqrt(1-8k))/4;(1-sqrt(1-8k))/2)$ (*)
"bree08":
e adesso come faccio a trovare i due i punti? non ho capito in che senso in funzione di k? ....
In funzione di k vuole dire che nelle coordinate dei tuoi punti non hai delle costanti, ma dei parametri che possono variare, come puoi osservare da (*)
Adesso applica la formula della distanza tra due punti e con pochi calcoli arrivi qui
$PQ=sqrt(((1-8k)/4 + 1-8k))=1/2sqrt(5-40k)$
(anche questa in funzione di k)
adesso poni $PQ=7/2sqrt5$ e ti calcoli k
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