Esercizi integrali. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[vincenzo12342]

La prof oggi ci ha assegnato questi esercizi sugli integrali. Ho provato a farli ma non me ne venuto neanche uno, qualcuno potrebbe darmi una mano?

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Se ci mostri i passaggi possiamo correggerti, altrimenti se li svolgiamo al
posto tuo non ti rimarrà niente e tra un mese poi saranno cavoletti amari!! :)

[vincenzo12342]

Il fatto è che non so proprio farli -_- Ho provato ad usare le formule degli integrali ma non riesco ad applicarle. Per questo ho chiesto aiuto per vedere tramite l'esercizio svolto come potrei capirlo ^_^

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Capisco, all'inizio è quasi normale trovarsi spiazzati nel calcolo
degli integrali dato che, a differenza del calcolo delle derivate,
il procedimento non è per nulla facilmente algoritmizzabile (in-
somma, in genere non si può sperare di procedere a "scimmia"
come invece è fattibile nel calcolo delle derivate). Ciononostante,
seguendo un certo iter e avendo ben presente la tabella degli in-
tegrali elementari si impara anche a districarsi in questi esercizi.

A tale scopo, rispettivamente per ogni integrale che hai elencato, ti
indicherò la via da seguire e quindi tu proverai ad applicarla: qualora
non tornassero ancora mostrerai i tuoi passaggi così da poter correg-
gerti in maniera efficace.

Riferendomi alla colonna di sinistra:

a. Sfrutta la linearità degli integrali, ossia spezzalo nella somma
algebrica di tre integrali; inoltre ricorda che

[math]\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\\[/math]

.

b. Poni una sostituzione del tipo

[math]t = x^4 + 2x^2 + 4\\[/math]

.

c. Poni una sostituzione del tipo

[math]t = - \cos x\\[/math]

.

d. Poni una sostituzione del tipo

[math]t = \sin^2 x\\[/math]

.

e. Poni una sostituzione del tipo

[math]t = x^2 + 4\\[/math]

.

f. Poni una sostituzione del tipo

[math]t = 3x\\[/math]

.

g. Integra per parti derivando

[math]x[/math]

e integrando

[math]e^{-2x}\\[/math]

.


A titolo d'esempio, ti svolgo per intero l'esercizio

[math]b\\[/math]

.

Dato l'integrale

[math]\small I(x) := \int \left(x^4 + 2x^2 + 4\right)^2 \left(x^3 + x\right) dx[/math]

, ponendo una
sostituzione del tipo

[math]\small t = x^4 + 2x^2 + 4[/math]

segue che

[math]\small dt = \left(4x^3 + 4x\right)\,dx[/math]

,
ossia

[math]\small \left(x^3 + x\right) dx = \frac{1}{4}dt[/math]

, si ha

[math]I(x) = t^2\,\frac{1}{4}dt = \frac{1}{4}\int t^2\,dt[/math]

. Dunque,
facendo riferimento alla tabella degli integrali elementari, in particolare con-
siderando che per

[math]k \ne -1[/math]

si ha

[math]\int z^k\,dz = \frac{z^{k + 1}}{k + 1} + c[/math]

, ne consegue che

[math]I(x) = \frac{t^3}{12} + c[/math]

e quindi, ricordando la sostituzione fatta a monte, tornando
nella variabile

[math]x[/math]

, si ottiene quanto desiderato:

[math]I(x) = \frac{\left(x^4 + 2x^2 + 4\right)^3}{12} + c\\[/math]

.


Vedi se ora torna qualcosa. ;)

[vincenzo12342]

Per quanto riguarda il primo esercizio sono riuscito ad applicare la forumla. Gli altri non riesco a farli perchè la prof. Non ha ancora spiegato gli integrali per sostituzione :( Ha detto di applicare le solite forumle degli integrali indefiniti

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

"Le solite formule" ... fa venire i brividi solo a pensarci se via ha detto
veramente così!! Gli integrali si risolvono riducendosi a quelli elemen-
tari (tabulati) e per fare questo si utilizzano varie tecniche: in quelli pro-
posti, eccetto l'ultimo, è sufficiente porre una banale sostituzione di va-
riabile. Invece, da quanto ho capito, va di moda lavarsi le mani (intendo
da parte degli insegnanti) e fornire le "formulette magiche". In tale caso,
negli esercizi sopra discussi (eccetto l'ultimo) è sufficiente ricordare che,
per

[math]k \ne -1[/math]

, si ha

[math]\int [f(z)]^k\,f'(z)\,dz = \frac{[f(z)]^{k + 1}}{k + 1} + c[/math]

. ;)