Esercizi difficili di probabilità.
Ho questi due esercizi di probabilità piuttosto difficili e che non saprei come risolvere.
1) Si estraggono consecutivamente tre carte da un mazzo di 40, rimettendo ogni volta nel mazzo la carta estratta. Calcola la probabilità che le carte siano:
a) tre figure o tre sette.
b)tre figure o tre carte dello stesso seme.
c)tre carte diverse.
[$7/250; 281/3200; 741/800$]
2) Al gioco del lotto lo Stato paga:
a)250 volte la posta per un ambo.
b)4250 volte la posta per un terno.
c)80000 volte la posta per una quaterna.
d) 1 000 000 di volte le posta per una cinquina.
Dopo aver verificato che il gioco non è equo, ma favorevole allo Stato, dermina quante volte lo Stato dovrebbe pagare la posta in caso di gioco equo.
[$4005; 117480; 2555190; 43 949 268$].
Datemi per piacere qualche indizio. Per esempio per il primo esercizio non capisco come si possa estrarre tre carte contemporaneamente ed allo stesso tempo rimettere ogni volta la carta estratta nel mazzo.
1) Si estraggono consecutivamente tre carte da un mazzo di 40, rimettendo ogni volta nel mazzo la carta estratta. Calcola la probabilità che le carte siano:
a) tre figure o tre sette.
b)tre figure o tre carte dello stesso seme.
c)tre carte diverse.
[$7/250; 281/3200; 741/800$]
2) Al gioco del lotto lo Stato paga:
a)250 volte la posta per un ambo.
b)4250 volte la posta per un terno.
c)80000 volte la posta per una quaterna.
d) 1 000 000 di volte le posta per una cinquina.
Dopo aver verificato che il gioco non è equo, ma favorevole allo Stato, dermina quante volte lo Stato dovrebbe pagare la posta in caso di gioco equo.
[$4005; 117480; 2555190; 43 949 268$].
Datemi per piacere qualche indizio. Per esempio per il primo esercizio non capisco come si possa estrarre tre carte contemporaneamente ed allo stesso tempo rimettere ogni volta la carta estratta nel mazzo.
Risposte
"SirDanielFortesque":
Datemi per piacere qualche indizio. Per esempio per il primo esercizio non capisco come si possa estrarre tre carte contemporaneamente ed allo stesso tempo rimettere ogni volta la carta estratta nel mazzo.
Primo indizio: non dice "contemporaneamente" ma "consecutivamente"
Grazie. Il primo allora risulta così:
$p(a)=(12*12*12)/(40*40*40) + (4*4*4)/(40*40*40)=(3*3*3+1)/(10*10*10)=28/(10*10*10)=7/(10*5*5)=7/250$
$p(b)=(12*12*12)/(40*40*40)+(40*10*10)/(40*40*40)-(12*3*3)/(40*40*40)=(3*12*12+10*10*10-3*3*3)/(10*40*40)=(432+1000-27)/(10*40*40)=1405/(10*40*40)=281/(40*40*2)=281/3200$
$p(c)=(40*39*38)/(40*40*40)=(39*19)/(800)=741/800$
Mi daresti un secondo indizio per il secondo esercizio?
$p(a)=(12*12*12)/(40*40*40) + (4*4*4)/(40*40*40)=(3*3*3+1)/(10*10*10)=28/(10*10*10)=7/(10*5*5)=7/250$
$p(b)=(12*12*12)/(40*40*40)+(40*10*10)/(40*40*40)-(12*3*3)/(40*40*40)=(3*12*12+10*10*10-3*3*3)/(10*40*40)=(432+1000-27)/(10*40*40)=1405/(10*40*40)=281/(40*40*2)=281/3200$
$p(c)=(40*39*38)/(40*40*40)=(39*19)/(800)=741/800$
Mi daresti un secondo indizio per il secondo esercizio?
Con 90 numeri si possono fare $((90),(2))=(90*89)/2=4005$ ambi distinti.
Relativamente al quesito del lotto, quelle che hai postato sono le combinazioni possibili, non le quote eque...
Vero che gli ambi possibili sono $4.005$, però i numeri estratti sono $5$.
E con $5$ numeri ci sono $10$ ambi distinti, nonchè vincenti.
Di conseguenza la quota equa dovrebbe essere$4.005/10=400,5$
Anche la quota del terno va divisa per 10.
Quella della quaterna per 5.
Quella della cinquina è corretta.
Vero che gli ambi possibili sono $4.005$, però i numeri estratti sono $5$.
E con $5$ numeri ci sono $10$ ambi distinti, nonchè vincenti.
Di conseguenza la quota equa dovrebbe essere$4.005/10=400,5$
Anche la quota del terno va divisa per 10.
Quella della quaterna per 5.
Quella della cinquina è corretta.
"superpippone":
Relativamente al quesito del lotto, quelle che hai postato sono le combinazioni possibili, non le quote eque...
non mi pare di aver scritto che 4005 siano le quote eque....in verità non avevo letto le soluzioni proposte e volevo solo dare un indizio all'OP.
Ovviamente la tua soluzione è impeccabile, come sempre
Tommik: il mio commento non era rivolto a te.
Mi riferivo alle risposte che l'utente aveva scritto tra parentesi.
Luciano
Mi riferivo alle risposte che l'utente aveva scritto tra parentesi.
Luciano
Per puntualizzare, le quote delle vincite sono cambiate da alcuni anni (penso almeno una decina...).
Ambo: 250
Terno: 4.500
Quaterna: 120.000
Cinquina: 6.000.000
Sono sempre stra-favorevoli al banco, ma di qualcosina sono migliorate.
Ambo: 250
Terno: 4.500
Quaterna: 120.000
Cinquina: 6.000.000
Sono sempre stra-favorevoli al banco, ma di qualcosina sono migliorate.
Salve,
scusate se per un po' non ho risposto. Adesso vi riporto come l'ho risolto per far combaciare i risultati del libro con i miei... tuttavia non capisco perché superpippone divide le volte che la posta viene ripagata in caso di vittoria per 10 e per 5?.
Comunque:
la probabilità che ci sia un ambo è:
$p(ambo)= 2/90 * 1/89 = 1/(45*89)$
$p(terno)= 3/90 * 2/89 *1/88 = 1/(30*89*44)$
$p(quaterna)=4/90 * 3/89 * 2/88 * 1/87=1/(30*89*11*87)$
p(cinquina)$=5/90 * 4/89 *3/88 *2/87 *1/86=1/(6*89*11*87*86)$
Se indico con $p$ la probilità di vincere, con $S$ la posta e con $k$ il numero di volte per cui la posta viene moltiplicata quando viene attribuita la vincita ho:
$p*k*S=S$
$k=1/p$
(devo considerare i denominatori delle probabilità di vincita)
per l'ambo:
$k=45*89 = 4005$ volte (non è equo).
per il terno:
$k=30*89*44=117 480$ volte (non è equo).
per la quaterna:
$k=30*89*11*87=2 555 190$ volte (non è equo).
per la cinquina:
$k=6*89*11*87*86=43 949 268$ volte (non è equo).
Ma perché Luciano divide? E cosa sono esattamente le quote eque? (sì, sono messo male)
scusate se per un po' non ho risposto. Adesso vi riporto come l'ho risolto per far combaciare i risultati del libro con i miei... tuttavia non capisco perché superpippone divide le volte che la posta viene ripagata in caso di vittoria per 10 e per 5?.
Comunque:
la probabilità che ci sia un ambo è:
$p(ambo)= 2/90 * 1/89 = 1/(45*89)$
$p(terno)= 3/90 * 2/89 *1/88 = 1/(30*89*44)$
$p(quaterna)=4/90 * 3/89 * 2/88 * 1/87=1/(30*89*11*87)$
p(cinquina)$=5/90 * 4/89 *3/88 *2/87 *1/86=1/(6*89*11*87*86)$
Se indico con $p$ la probilità di vincere, con $S$ la posta e con $k$ il numero di volte per cui la posta viene moltiplicata quando viene attribuita la vincita ho:
$p*k*S=S$
$k=1/p$
(devo considerare i denominatori delle probabilità di vincita)
per l'ambo:
$k=45*89 = 4005$ volte (non è equo).
per il terno:
$k=30*89*44=117 480$ volte (non è equo).
per la quaterna:
$k=30*89*11*87=2 555 190$ volte (non è equo).
per la cinquina:
$k=6*89*11*87*86=43 949 268$ volte (non è equo).
Ma perché Luciano divide? E cosa sono esattamente le quote eque? (sì, sono messo male)
Ammettiamo che ci siano 4.005 person che giocano ognuna un ambo diverso su una stessa ruota.
Così tutte le possibilità sono "coperte".
Ognuno ha giocato 1 euro.
In questo modo lo Stato ha incassato 4005 euro.
Ammettiamo che su quella ruota escano i seguenti numeri: 1-2-3-4-5
Io ho giocato l'ambo 1-2. Ho vinto.
Però ha vinto anche chi ha giocato gli ambi: 1-3;1-4;1-5;2-3;2-4;2-5;3-4;3:5;4-5.
Cioè altri 9 vincitori.
Con me 10 in totale.
Affinchè il gioco sia equo, il totale delle entrate e delle uscite deve essere uguale.
Cioè lo Stato deve distribuire i 4005 euro incassati.
E poichè i vincitori sono 10, ad ognuno di essi vanno $4.005:10=400,50$ euro.
Ti è chiaro adesso?
In maniera analoga si procede per gli altri tipi di giocata.
Così tutte le possibilità sono "coperte".
Ognuno ha giocato 1 euro.
In questo modo lo Stato ha incassato 4005 euro.
Ammettiamo che su quella ruota escano i seguenti numeri: 1-2-3-4-5
Io ho giocato l'ambo 1-2. Ho vinto.
Però ha vinto anche chi ha giocato gli ambi: 1-3;1-4;1-5;2-3;2-4;2-5;3-4;3:5;4-5.
Cioè altri 9 vincitori.
Con me 10 in totale.
Affinchè il gioco sia equo, il totale delle entrate e delle uscite deve essere uguale.
Cioè lo Stato deve distribuire i 4005 euro incassati.
E poichè i vincitori sono 10, ad ognuno di essi vanno $4.005:10=400,50$ euro.
Ti è chiaro adesso?
In maniera analoga si procede per gli altri tipi di giocata.
Adesso ho capito. Grazie mille. Tutto chiarissimo.
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