ESERCIZI DI trigonometria Parte1.

[gigiobagigio200]

Ciao mi servirebbero questi quattro esercizi( i primi quattro che vedete)..mi servirebbe una mano giusto in questi

[Studente Anonimo]

Ciao,

N.347
Consideriamo la figura 1 in allegato.
abbiamo che:
AC=3AB, BÂC=60°, BK+HC=4a√3

Consideriamo il triangolo CAH.
Avendo l'angolo di 60°, è metà di un triangolo equilatero; ne consegue che:
AH=AC/2=3/2AB
e
CH=AH√3=3√3/2AB
Analogamente consideriamo il triangolo BAK.
Si ha che :
AK=AB/2
e
BK=AK√3=√3/2AB

Sostituiamo i valori di BK e CH appena trovati nella relazione data:
BK+HC=4a√3
√3/2AB+3√3/2AB=4a√3
si ottiene:
√3AB+3√3AB=8a√3
4√3AB=8a√3
da cui:
AB=8a√3/4√3=2a
AB=2a

Calcoliamo il lato AC:
AC=3AB=3×2a=6a

Consideriamo il triangolo ABC con l'angolo Â=60°
Dal teorema di Carnot(teorema del coseno)si ricava che:
BC²=AC²+AB²-2(AC)(AB)∙cosÂ
cioè:
BC²=(6a)²+(2a)²-2(2a)(6a)∙cos(60°)
BC²=36a²+4a²-24a²/2
BC²=36a²+4a²-12a²
BC²=28a²
Da cui:
BC=√28a²=√4a²•7=2a√7
BC=2a√7

Pertanto i lati del triangolo misurano:
AB=2a, AC=6a, BC=2a√7


Consideriamo la figura 2 in allegato.
abbiamo che:
AM=CN=x, MN=3a√3
Consideriamo il triangolo AMN.
si ha che:
AN=AC-CN=6a-x
Dal teorema di Carnot(teorema del coseno):
MN²=AN²+AM²-2(AN)(AM) ∙cos60
ne consegue che:
(3a√3)²=(6a-x)²+x²-2(6a-x)(x)∙1/2
9a²(3)=36a²-12ax+x²+x²-6ax+x²
27a²=36a²-18ax+3x²
36a²-18ax+3x²-27a²=0
3x²-18ax+9a²=0
x²-6ax+3a²=0
risolvendo si ha:
x=3a-a√6=(3-√6)a
x=(3-√6)a