Esercizi di matematica che non riesco a fare
Ciao a tutti! :) Per domani ho due esercizi sulla circonferenza che proprio non riesco a fare. Pra ve li scrivo, spero tanto che qualcuno possa aiutarmi, GRAZIE MILLE IN ANTICIPO A CHI RIESCE A DIRMI LA SOLUZIONE!!:D
Ciaooo! grazie ancora a chi ci prova e a chi ci riuscirà ;)
-Quale punto della circonferenza di equazione x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0 ha distanza minima dal punto A(5;2) ?
-considera la circonferenza di equazione x^2 +y^2 -10x -14y +24 =0 ,conduci le tangenti nei suoi punti A(0;12) B(4;0) e calcola l'area del quadrilatero delle tangenti stesse e dai raggi che terminano nei punti di contatto.
Ciaooo! grazie ancora a chi ci prova e a chi ci riuscirà ;)
Risposte
1) dobbiamo cercare la retta che passa per il centro e per il punto A e poi cercare l'intersezione con la circonferenza.
il centro C ha coordinate (-1,-1) mentre A ha coordinate (5,2) quindi per i due punti passa una e una sola retta di equazione
Adesso mettiamo in sistema questa retta con la circonferenza :
quindi abbiamo un equazione di secondo grado con soluzioni x=-3 e x=1
se disegni la circonferenza e la retta, noti subito che l'intersezione tra le due che è più vicina ad A ha sicuramente ascissa positiva, quindi il punto cercato ha ascissa x=1 e, sostituendola nell'equazione della retta,troviamo y= 0 quindi il punto cercato è (1,0).
---------------------------------------------------------------------------
2)per calcolare la tangente in un punto che appartiene alla circonferenza usiamo le formule i sdoppiamento.
sostituiamo quindi
Dove
Quindi per il punto (0,12) si ha:
Per il punto (4,0) :
Il quadrilatero cercato ha per vertici:
C (il centro della circonferenza)
A e B (punti dati)
D (intersezione delle tangenti)
mettendo in sistema le due rette trovate si ottiene
D( -10 ;2 )
mentre C ha coordinate (5; 7)
L'area del quadrilatero si può calcolare dividendo il quadrilatero in due triangoli CAP e CBP di cui immagino non avrai problemi a calcolarti le aree. Una volta calcolate basta sommarle.
P.S. Se non hai fatto la regola dello sdoppiamento, per calcolare le tangenti puoi mettere in sistema una generica retta passante per il punto indicato con la circonferenza e poi porre la condizione di tangenza (delta =0 ).
il centro C ha coordinate (-1,-1) mentre A ha coordinate (5,2) quindi per i due punti passa una e una sola retta di equazione
[math]\frac{y+1}{2+1}= \frac{x+1}{5+1}[/math]
quindi [math]y= \frac{x-1}{2}[/math]
Adesso mettiamo in sistema questa retta con la circonferenza :
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0\\
y= \frac{x-1}{2}\end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0\\
y= \frac{x-1}{2}\end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2 + ( \frac{x-1}{2} )^2 +2x +2 ( \frac{x-1}{2} ) -3 =0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2 + ( \frac{x-1}{2} )^2 +2x +2 ( \frac{x-1}{2} ) -3 =0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2 + \frac{x^2+1-2x}{4} +2x + x-1 -3 =0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2 + \frac{x^2+1-2x}{4} +2x + x-1 -3 =0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
4x^2 + x^2+1-2x +8x + 4x-4 -12 =0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
4x^2 + x^2+1-2x +8x + 4x-4 -12 =0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
5x^2+10x-15=0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
5x^2+10x-15=0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2+2x-3=0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x^2+2x-3=0\\
y= \frac{x-1}{2} \end{array} \right.
[/math]
quindi abbiamo un equazione di secondo grado con soluzioni x=-3 e x=1
se disegni la circonferenza e la retta, noti subito che l'intersezione tra le due che è più vicina ad A ha sicuramente ascissa positiva, quindi il punto cercato ha ascissa x=1 e, sostituendola nell'equazione della retta,troviamo y= 0 quindi il punto cercato è (1,0).
---------------------------------------------------------------------------
2)per calcolare la tangente in un punto che appartiene alla circonferenza usiamo le formule i sdoppiamento.
sostituiamo quindi
[math]x^2 = x*x_0[/math]
[math]y^2 = y*y_0[/math]
[math]x = (x+x_o)/2[/math]
[math]y = (y+y_o)/2[/math]
Dove
[math] x_0, y_0[/math]
sono le coordinate del punto che hai.Quindi per il punto (0,12) si ha:
[math]12y - 10 (x/2) - 14 (y+12)/2 + 24 = 0[/math]
[math]12y - 5x - 7y - 84 + 24 = 0[/math]
[math]5y - 5x - 60 = 0[/math]
[math]y = x + 12 [/math]
Per il punto (4,0) :
[math]4x - 10 (4+x)/2 - 14 (y/2) + 24 = 0[/math]
[math]4x - 20 - 5x - 7y + 24 = 0[/math]
[math]-x -7y +4 = 0[/math]
[math]y=(4-x)/7[/math]
Il quadrilatero cercato ha per vertici:
C (il centro della circonferenza)
A e B (punti dati)
D (intersezione delle tangenti)
mettendo in sistema le due rette trovate si ottiene
D( -10 ;2 )
mentre C ha coordinate (5; 7)
L'area del quadrilatero si può calcolare dividendo il quadrilatero in due triangoli CAP e CBP di cui immagino non avrai problemi a calcolarti le aree. Una volta calcolate basta sommarle.
P.S. Se non hai fatto la regola dello sdoppiamento, per calcolare le tangenti puoi mettere in sistema una generica retta passante per il punto indicato con la circonferenza e poi porre la condizione di tangenza (delta =0 ).
Cioa, workent95! Ti scrivo le soluzioni dei tuoi due problemi. Siccome sono un pochino stanca, spero mi scuserai se te le imposto solamente, lasciando a te il compito di svolgere i calcoli.
Soluzione:
-Quale punto della circonferenza di equazione x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0 ha distanza minima dal punto A(5;2) ?
Per risolvere l'esercizio, occorre innanzi tutto determinare il centro O della circonferenza.
Le coordinate del centro si trovano dalle seguenti formule:
xc = -a/2 = -2/2 = -1 (dove con "a" si è indicato il coefficiente di x)
yc = -b/2 = -2/2 = -1 (dove con "b" si è indicato il coefficiente di y)
Il centro della croconferenza di trova dunque nel punto di coordinate (-1,-1), situato nel terzo quadrante.
Ora, veniamo a quanto richiesto dal problema. La minima distanza tra la circonferenza e il punto A si determina unendo A con il centro O mediante una retta.
Determiniamo l'equazione di questa sapendo che ad essa appartengono sia A che O.
Y = mx +n
1) ya = mXa + n, cioè 2 = 5m + n, quindi n = 2 -5m
2) yc = mXc + n, cioè -1 = -m +n.
Ma prima abbiamo ricavato che n = 2-5m, quindi -1 = -m + 2 - 5m
Ne deduco che -3 = -6 m, quindi m= 1/2. e che n = 2 -5m = 2-5/2 = 4/2 -5/2 = -1/2.
La retta è: y = 1/2x -1/2.
Calcoliamo dove questa retta taglia la circonferenza mettendo a sistema la sua equazione e quella della circonferenza.
y = 1/2x -1/2.
x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0
Applico il metodo dell sostituzione, sostituendo ad y il valore 1/2x -1/2 e infilandolo nell'equazione della circonferenza. Otterrò una equazione di secondo grado da risolvere con le consuete formule.
Determinerò così due punti di coordinate X e Y.
Delle due soluzioni è probabile che una risulti riferirsi ad un punto nel primo quadrante ed una ad un punto nel terzo, nel secondo o nel quarto quadrante. L'unica soluzione da prendere in considerazione è però la prima, , perchè il punto A si trova nel primo quadrante, e quindi un punto che si trova in un altro quadrante è sicuramente più lontano.
Il punto trovato, dunque, risulta essere quello delle circonferenza più vicino ad A.
La distanaza tra questi due punti si trova con la nota formula della distanza tra due punti:
d = radice di [(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]
- considera la circonferenza di equazione x^2 +y^2 -10x -14y +24 =0 ,conduci le tangenti nei suoi punti A(0;12) B(4;0) e calcola l'area del quadrilatero delle tangenti stesse e dai raggi che terminano nei punti di contatto.
Determiniamo l'equazione delle due rette.
La prima avrà equazione generica y = mx +n.
Metto a sistema questa equazione con l'equazione della circonferenza. Ne risulaterà una equazione di secondo grado, che dovrà avere un delta pari a 0. Infatti perchè la retta sia tangente alla circonferenza occorrerà che essa tocchi la circonferenza in un unico punto. Ciò avviene se x o y hanno un unico valore, e x e y hanno un unico valore se il determinante dell'equazione di secondo grado è pari a 0.
x dovrà poi risultare pari 0 e y pari a 12 -ci fornisce questi valori il problema.
Queste due condizioni (delta =0 e x=0 o y=12) permettono di determinare m ed n della retta.
Faccio esattamente lo stesso anche con la seconda retta, determinandone m' e n'.
Mettendo a sistema le due equazioni, deteremino le coordinate del punto P, punto di intereszione tra le due rette. Unisco il centro O della circonferenza (le cui coordinate sono facilemnte determinabili sapendo che xc =-a/2 e yc =-b/2) con il punto P. Calcolo la lunghezza di OP:
OP = radice di [(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]
Ora, le rette tangenti alla circonferenza sono sempre perpendicolari ai raggi della stessa condotti nel punto di tangenza. Cioè, se io traccio i raggi della circonferenza che passano per i punti di tangenza delle due rette, essi saranno perpendicolari alle rette stesse.
Per questa proprietà, il segmento OP viene a costituire l'ipotenusa di due traingoli rettangoli uguali tra di loro, di cui conosco la lunghezza dell'ipotenusa (OP) e la lunghezza di un cateto (Raggio circonferenza, da stimarsi con formula r = radice di (xc^2 +yc^2 -c)).
Trovo il secondo cateto con il teorema di Pitagora.
Noti i cateti, calcolo l'area del quadrilatero come somma delle aree dei due traingoli.
Fine. Ciao!
A q
Soluzione:
-Quale punto della circonferenza di equazione x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0 ha distanza minima dal punto A(5;2) ?
Per risolvere l'esercizio, occorre innanzi tutto determinare il centro O della circonferenza.
Le coordinate del centro si trovano dalle seguenti formule:
xc = -a/2 = -2/2 = -1 (dove con "a" si è indicato il coefficiente di x)
yc = -b/2 = -2/2 = -1 (dove con "b" si è indicato il coefficiente di y)
Il centro della croconferenza di trova dunque nel punto di coordinate (-1,-1), situato nel terzo quadrante.
Ora, veniamo a quanto richiesto dal problema. La minima distanza tra la circonferenza e il punto A si determina unendo A con il centro O mediante una retta.
Determiniamo l'equazione di questa sapendo che ad essa appartengono sia A che O.
Y = mx +n
1) ya = mXa + n, cioè 2 = 5m + n, quindi n = 2 -5m
2) yc = mXc + n, cioè -1 = -m +n.
Ma prima abbiamo ricavato che n = 2-5m, quindi -1 = -m + 2 - 5m
Ne deduco che -3 = -6 m, quindi m= 1/2. e che n = 2 -5m = 2-5/2 = 4/2 -5/2 = -1/2.
La retta è: y = 1/2x -1/2.
Calcoliamo dove questa retta taglia la circonferenza mettendo a sistema la sua equazione e quella della circonferenza.
y = 1/2x -1/2.
x^2 + y^2 +2x +2y -3 =0
Applico il metodo dell sostituzione, sostituendo ad y il valore 1/2x -1/2 e infilandolo nell'equazione della circonferenza. Otterrò una equazione di secondo grado da risolvere con le consuete formule.
Determinerò così due punti di coordinate X e Y.
Delle due soluzioni è probabile che una risulti riferirsi ad un punto nel primo quadrante ed una ad un punto nel terzo, nel secondo o nel quarto quadrante. L'unica soluzione da prendere in considerazione è però la prima, , perchè il punto A si trova nel primo quadrante, e quindi un punto che si trova in un altro quadrante è sicuramente più lontano.
Il punto trovato, dunque, risulta essere quello delle circonferenza più vicino ad A.
La distanaza tra questi due punti si trova con la nota formula della distanza tra due punti:
d = radice di [(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]
- considera la circonferenza di equazione x^2 +y^2 -10x -14y +24 =0 ,conduci le tangenti nei suoi punti A(0;12) B(4;0) e calcola l'area del quadrilatero delle tangenti stesse e dai raggi che terminano nei punti di contatto.
Determiniamo l'equazione delle due rette.
La prima avrà equazione generica y = mx +n.
Metto a sistema questa equazione con l'equazione della circonferenza. Ne risulaterà una equazione di secondo grado, che dovrà avere un delta pari a 0. Infatti perchè la retta sia tangente alla circonferenza occorrerà che essa tocchi la circonferenza in un unico punto. Ciò avviene se x o y hanno un unico valore, e x e y hanno un unico valore se il determinante dell'equazione di secondo grado è pari a 0.
x dovrà poi risultare pari 0 e y pari a 12 -ci fornisce questi valori il problema.
Queste due condizioni (delta =0 e x=0 o y=12) permettono di determinare m ed n della retta.
Faccio esattamente lo stesso anche con la seconda retta, determinandone m' e n'.
Mettendo a sistema le due equazioni, deteremino le coordinate del punto P, punto di intereszione tra le due rette. Unisco il centro O della circonferenza (le cui coordinate sono facilemnte determinabili sapendo che xc =-a/2 e yc =-b/2) con il punto P. Calcolo la lunghezza di OP:
OP = radice di [(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]
Ora, le rette tangenti alla circonferenza sono sempre perpendicolari ai raggi della stessa condotti nel punto di tangenza. Cioè, se io traccio i raggi della circonferenza che passano per i punti di tangenza delle due rette, essi saranno perpendicolari alle rette stesse.
Per questa proprietà, il segmento OP viene a costituire l'ipotenusa di due traingoli rettangoli uguali tra di loro, di cui conosco la lunghezza dell'ipotenusa (OP) e la lunghezza di un cateto (Raggio circonferenza, da stimarsi con formula r = radice di (xc^2 +yc^2 -c)).
Trovo il secondo cateto con il teorema di Pitagora.
Noti i cateti, calcolo l'area del quadrilatero come somma delle aree dei due traingoli.
Fine. Ciao!
A q
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