Esercizi di matematica (62716)
Qualcuno mi può aiutare a risolvere questi esercizi? :)
Risposte
Primo esercizio:
si tratta di reisolvere la disequazione.
Ma prima possiamo raccogliere al denominatore, una x^2, ottenendo
Posto
Numeratore maggiore o uguale a zero:
risolvi l'equazione di secondo grado, notando che non ha soluzioni.
Determinera' il segno della disequazione solo il denominatore:
Studiamo fattore per fattore
Facciamo il grafico dei segni ottenendo
Che e' dunque l'intervallo in cui il denominatore e' maggiore di zero. Ed essendo il numeratore sempre maggiore di zero, e' anche la soluzione della disequazione..
Aggiunto 3 minuti più tardi:
2) abbiamo una funzione di funzione.
Le funzioni che notiamo sono: logaritmo, frazione.
Pertanto la derivata prima sara' la derivata del logaritmo x la derivata dell'argomento.
Calcoliamo la derivata dell'argomento:
La derivata di log A e' 1/A, quindi avremo
Aggiunto 5 minuti più tardi:
La terza. Non si puo' svolgere una funzione.... Cioe' non vuol dire nulla "svolgere una funzione"
Una funzione si studia.
Tutto quello che posso dirti e' che la funzione non ammette x-1=0 quindi esiste per x diverso da 1.
Poi non so... Magari ti calcolo la derivata prima... Non so che devi fare!
La deriviata di
Anche qui hai funzione di funzione, quindi devi derivare
Quindi la derivata dell'argomento (ovvero dell'esponente) sara'
(ricordando la derivata di una frazione che e'
(che e' la stessa formula che ho usato prima per l'argomento del logaritmo)
Avrai che la derivata dell'esponente e'
PErtanto la derivata prima di tutta la funzione sara'
di piu' non so che dirti :)
Aggiunto 34 minuti più tardi:
@pioloreggente.
La limitazione
LA discussione del campo di esistenza si rende necessaria in quel momento, perche' semplificando si perde un'informazione.
La limitazione
Pertanto la tua discussione e' superflua, perche' compresa nello studio del segno del denominatore ;)
si tratta di reisolvere la disequazione.
Ma prima possiamo raccogliere al denominatore, una x^2, ottenendo
[math] \frac{2x (1+x^2)}{x^2(3x-1)} [/math]
Posto
[math] x \ne 0 [/math]
semplifichiamo la x al numeratore e denominatore ottenendo[math] \frac{2(1+x^2)}{x(3x-1)} \ge 0 [/math]
Numeratore maggiore o uguale a zero:
[math] 2(1+x^2) \ge 0 \to 1+x^2 \ge 0 [/math]
risolvi l'equazione di secondo grado, notando che non ha soluzioni.
[math] 1+x^2 [/math]
sara' pertanto sempre positiva, pertanto il numeratore e' sempre positivo.Determinera' il segno della disequazione solo il denominatore:
[math] D>0 \to x(3x-1)>0 [/math]
Studiamo fattore per fattore
[math] x>0 [/math]
[math] 3x-1>0 \to x>\frac13[/math]
Facciamo il grafico dei segni ottenendo
[math] x \frac13 [/math]
Che e' dunque l'intervallo in cui il denominatore e' maggiore di zero. Ed essendo il numeratore sempre maggiore di zero, e' anche la soluzione della disequazione..
Aggiunto 3 minuti più tardi:
2) abbiamo una funzione di funzione.
Le funzioni che notiamo sono: logaritmo, frazione.
Pertanto la derivata prima sara' la derivata del logaritmo x la derivata dell'argomento.
Calcoliamo la derivata dell'argomento:
[math] \frac{1(3x+2)-3(x-1)}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(3x+2)^2} [/math]
La derivata di log A e' 1/A, quindi avremo
[math] f'(x)= \frac{1}{\frac{x-1}{3x+2}} \cdot \frac{1}{(3x+2)^2}= \frac{3x+2}{x-1} \cdot \frac{1}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(x-1)(3x+2)} [/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
La terza. Non si puo' svolgere una funzione.... Cioe' non vuol dire nulla "svolgere una funzione"
Una funzione si studia.
Tutto quello che posso dirti e' che la funzione non ammette x-1=0 quindi esiste per x diverso da 1.
Poi non so... Magari ti calcolo la derivata prima... Non so che devi fare!
La deriviata di
[math] e^x [/math]
e' [math] e^x[/math]
Anche qui hai funzione di funzione, quindi devi derivare
[math] e^{A} [/math]
(dove A e' l'argomento) che dara' [math] e^{A} [/math]
e poi moltiplicare per la derivata dell'argomento...Quindi la derivata dell'argomento (ovvero dell'esponente) sara'
(ricordando la derivata di una frazione che e'
[math] f(x)= \frac{f(x)}{g(x)} \to f'(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} [/math]
(che e' la stessa formula che ho usato prima per l'argomento del logaritmo)
Avrai che la derivata dell'esponente e'
[math] \frac{2x(x-1)-1(x^2-2)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2} [/math]
PErtanto la derivata prima di tutta la funzione sara'
[math] f'(x)=e^{\(\frac{x^2-2}{x-1} \) } \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2} [/math]
di piu' non so che dirti :)
Aggiunto 34 minuti più tardi:
@pioloreggente.
La limitazione
[math] x \ne 0 [/math]
nasce dalla semplificazione di x.LA discussione del campo di esistenza si rende necessaria in quel momento, perche' semplificando si perde un'informazione.
La limitazione
[math] x \ne \frac13 [/math]
(e di nuovo [math] x \ne 0 [/math]
) non occorre, in quanto viene inclusa nella discussione del segno del denominatore, che viene discusso > di 0 (in senso stretto) proprio per eliminare l'uguaglianza a zero.Pertanto la tua discussione e' superflua, perche' compresa nello studio del segno del denominatore ;)
Attento!
nella prima disequazione frazza oltre
che considerare il caso in cui
anche il caso in cui
e quindi
Aggiunto 2 secondi più tardi:
Attento!
nella prima disequazione frazza oltre
che considerare il caso in cui
anche il caso in cui
e quindi
nella prima disequazione frazza oltre
che considerare il caso in cui
[math]x \neq 0[/math]
devi onsiderare anche il caso in cui
[math](3x-1) \neq 0[/math]
e quindi
[math]x \neq \frac{1}{3}[/math]
Aggiunto 2 secondi più tardi:
Attento!
nella prima disequazione frazza oltre
che considerare il caso in cui
[math]x \neq 0[/math]
devi onsiderare anche il caso in cui
[math](3x-1) \neq 0[/math]
e quindi
[math]x \neq \frac{1}{3}[/math]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo