Esercizi contententi limiti notevoli con seno.

[lapoalberto77]

salve,

ho problemi nella risoluzione dei seguenti esercizi.
Il problema sostanziale se non erro starebbe nel ricondurre
parte del contenuto dei seguenti limiti al limite notevole $lim_(x->0)(sinx)/x=1$.

Ho i seguenti limiti:

$lim_(x->0)((sin6x)/(3x)-x^2)=2$
$lim_(x->0)(sin7x)/(sin5x)=7/5$

vi chiedo se cortesemente potete almeno suggerirmi l'impostazione iniziale e poi vedo di risolverlo io.

mille grazie.

[Ale1521]

$\lim_{x\to0} \frac{sin(6x)}{3x}=2\lim_{x\to0} \frac{sin(6x)}{6x}=2$
$\lim_{x\to0} x^2=0$

L'altro si svolge allo stesso modo.

[@melia]

$lim_(x->0)(sin7x)/(sin5x)=7/5$

vi chiedo se cortesemente potete almeno suggerirmi l'impostazione iniziale e poi vedo di risolverlo io.

mille grazie.[/quote]

Il limite notevole $lim_(x->0)(sinx)/x=1$ può anche essere visto nella forma $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/f(x)=1$, con $f(x)$ funzione continua.
Quindi $lim_(x->0)(sin7x)/(7x)=1$ per cui $lim_(x->0)(sin7x)/x=7$ visto che 7x tende a 0 con x, è continua e $lim_(x->0)(sin7x)/x=lim_(x->0)7*(sin7x)/(7x)=7$.
perciò $lim_(x->0)(sin7x)/(7x)*7*(5x)/(sin5x)*1/5=7/5$

Il primo limite è anche più semplice:$lim_(x->0)((sin6x)/(3x)-x^2)=lim_(x->0)((sin6x)/(6x)*2-x^2)=1*2-0=2$

Spero di essere stata chiara ed esauriente.

[lapoalberto77]

non mi è chiaro perchè $lim_(x->0)(sin7x)/x=7$

[GPaolo1]

L'argomento del seno è il prodotto $7*x$, ovvero la funzione $y=f(x)=7x$, mentre il denominatore è il valore $x$, ovvero la funzione $y=f(x)=x$, il limite notevole $lim_(x->0) (sen x)/x$ è il limite tra due funzioni non tra due numeri perciò se moltiplichi e dividi per 7 ottieni $lim_(x->0) (sen 7x)/x=7/7*lim_(x->0) (sen 7x)/x=7*lim_(x->0) (sen 7x)/(7x)=7*1=7$

[Ale1521]

Mooolto più semplicemente, chiama $7x=t$. Ottieni:
$\lim_{x\to0}\frac{sent}{\frac{t}{7}}=7*\lim_{x\to0}\frac{sent}{t}=7*1=7$