Esercizi con le ..........parabole
Ciao a tutti, eccomi qui con alcuni esercizi sulle parabole veramente tosti(per me:-), ah mi spieghereste perfavore la formula dello sdoppiomento il mio prof l'ha spiegata ma non ci capisce niente come spiega lui.ecco gli esercizi:
date le parabole di equazione y=3x-x^2 e y=x^2+3x individua le loro caratteristiche. Dopo aver verificato,disegnandole,la correttezza delle tue intuizioni verifica che esse sono tangenti (cioè hanno 2 intersezioni riunite in un solo punto)nell'origine O.Scritta l'equazione della tangente in O comune alle due parabole considera il punto P(1,2) ed il suo simmetrico Q rispetto ad O.Come sono le tangenti in P e Q alle due parabole.
Risultato y=3x;parallele.
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
date le parabole di equazione y=3x-x^2 e y=x^2+3x individua le loro caratteristiche. Dopo aver verificato,disegnandole,la correttezza delle tue intuizioni verifica che esse sono tangenti (cioè hanno 2 intersezioni riunite in un solo punto)nell'origine O.Scritta l'equazione della tangente in O comune alle due parabole considera il punto P(1,2) ed il suo simmetrico Q rispetto ad O.Come sono le tangenti in P e Q alle due parabole.
Risultato y=3x;parallele.
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Risposte
La parabola y = x² + 3x ha la concavità rivolta verso l'alto perché
il coefficiente di x² è positivo, mentre y = 3x - x² ha la concavità
rivolta verso il basso perché x² ha un coefficiente negativo (-1).
Entrambe, inoltre, passano per l'origine del sistema di riferimento;
infatti non compare il termine noto in nessuna delle due equazioni.
Verifichiamo che sono tangenti mettendole a sistema:
{y = x² + 3x
{y = 3x - x²
3x - x² = x² + 3x
2x² = 0
{x = 0
{y = 0
Ecco quindi dimostrato che c'è un solo punto di intersezione e quindi
c'è tangenza. Determiniamo ora la tangente comune alle due parabole
passante per O. Una retta passante per O ha equazione: y = mx.
Poniamola a sistema con una delle due parabole:
{y = mx
{y = x² + 3x
x² + 3x = mx
x² + 3x - mx = 0
x² + (3 - m)x = 0
Imponiamo che il discriminante (il 'delta' dell'equazione) sia nullo.
Poiché non vi è il termine noto, il discriminante non è altro che (3 - m)².
Quindi: (3 - m)² = 0 da cui m = 3
L'equazione della retta tangente è allora: y = 3x
Per quanto riguarda il punto P, il suo simmetrico Q rispetto ad O è: Q(-1,-2).
I punti P e Q appartengono rispettivamente a: y = 3x - x² e y = x² + 3x
Determiniamo la tangente in P a y = 3x - x². L'equazione del fascio
di rette passante per P è: y - 2 = m(x - 1) ==> y = mx - m + 2 [1]
Mettiamo a sistema questa equazione con la parabola:
{y = mx - m + 2
{y = 3x - x²
3x - x² = mx - m + 2
3x - x² - mx + m - 2 = 0
x² - 3x + mx - m + 2 = 0
Ora poniamo come prima il discriminante uguale a zero:
(m - 3)² - 4(2 - m) = 0
Risolvendo tale equazione si ottiene m = 1.
L'equazione della tangente è allora, sostituendo nella [1], y = x + 1
Per la tangente in Q all'altra parabola si procede in modo analogo.
L'equazione della retta generica passante per Q, punto che appartiene
alla parabola y = x² + 3x, è:
y + 2 = m(x + 1) ==> y = mx + m - 2 [2]
Dopo aver messo a sistema questa equazione con la parabola y = x² + 3x,
avremo: x² + 3x = mx + m - 2 ==> x² + 3x - mx - m + 2 = 0
Di nuovo, poniamo il discriminante nullo: (3 - m)² - 4(2 - m) = 0
Risolvendo questa equazione si ottiene di nuovo m = 1. Ne deduciamo
quindi che le due rette tangenti sono tra loro parallele. Sostituendo
il valore 1 nella [2] al posto di m si trova l'equazione della seconda
retta tangente: y = x - 1
il coefficiente di x² è positivo, mentre y = 3x - x² ha la concavità
rivolta verso il basso perché x² ha un coefficiente negativo (-1).
Entrambe, inoltre, passano per l'origine del sistema di riferimento;
infatti non compare il termine noto in nessuna delle due equazioni.
Verifichiamo che sono tangenti mettendole a sistema:
{y = x² + 3x
{y = 3x - x²
3x - x² = x² + 3x
2x² = 0
{x = 0
{y = 0
Ecco quindi dimostrato che c'è un solo punto di intersezione e quindi
c'è tangenza. Determiniamo ora la tangente comune alle due parabole
passante per O. Una retta passante per O ha equazione: y = mx.
Poniamola a sistema con una delle due parabole:
{y = mx
{y = x² + 3x
x² + 3x = mx
x² + 3x - mx = 0
x² + (3 - m)x = 0
Imponiamo che il discriminante (il 'delta' dell'equazione) sia nullo.
Poiché non vi è il termine noto, il discriminante non è altro che (3 - m)².
Quindi: (3 - m)² = 0 da cui m = 3
L'equazione della retta tangente è allora: y = 3x
Per quanto riguarda il punto P, il suo simmetrico Q rispetto ad O è: Q(-1,-2).
I punti P e Q appartengono rispettivamente a: y = 3x - x² e y = x² + 3x
Determiniamo la tangente in P a y = 3x - x². L'equazione del fascio
di rette passante per P è: y - 2 = m(x - 1) ==> y = mx - m + 2 [1]
Mettiamo a sistema questa equazione con la parabola:
{y = mx - m + 2
{y = 3x - x²
3x - x² = mx - m + 2
3x - x² - mx + m - 2 = 0
x² - 3x + mx - m + 2 = 0
Ora poniamo come prima il discriminante uguale a zero:
(m - 3)² - 4(2 - m) = 0
Risolvendo tale equazione si ottiene m = 1.
L'equazione della tangente è allora, sostituendo nella [1], y = x + 1
Per la tangente in Q all'altra parabola si procede in modo analogo.
L'equazione della retta generica passante per Q, punto che appartiene
alla parabola y = x² + 3x, è:
y + 2 = m(x + 1) ==> y = mx + m - 2 [2]
Dopo aver messo a sistema questa equazione con la parabola y = x² + 3x,
avremo: x² + 3x = mx + m - 2 ==> x² + 3x - mx - m + 2 = 0
Di nuovo, poniamo il discriminante nullo: (3 - m)² - 4(2 - m) = 0
Risolvendo questa equazione si ottiene di nuovo m = 1. Ne deduciamo
quindi che le due rette tangenti sono tra loro parallele. Sostituendo
il valore 1 nella [2] al posto di m si trova l'equazione della seconda
retta tangente: y = x - 1
fireball ti ringrazio, gia che si siamo mi ripieghereti perfavore come si trova l'equazione del fascio, cioè perchè a te ad un certo punto viene "L'equazione del fascio
di rette passante per P è: y - 2 = m(x - 1) ==> y = mx - m + 2 [1]"
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
di rette passante per P è: y - 2 = m(x - 1) ==> y = mx - m + 2 [1]"
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Dato un punto P(x0;y0), l'equazione di una retta
di coefficiente angolare m e passante per P è: y - y0 = m*(x - x0).
di coefficiente angolare m e passante per P è: y - y0 = m*(x - x0).
grazie ancora fireball ora mi spiegheresti la formula dello sdoppiamento perfavore:-), in quale caso devo usarla?
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Prima di tutto, una cosa: si scrive 'per favore' e non 'perfavore',
come ho notato che scrivi spesso
!!
Riguardo la formula di sdoppiamento, la trovo utile soltanto nel caso
in cui si debba trovare la retta tangente a una ellisse o una iperbole.
Dai un'occhiata a questo topic.
Modificato da - fireball il 30/04/2004 13:52:29
come ho notato che scrivi spesso
!!Riguardo la formula di sdoppiamento, la trovo utile soltanto nel caso
in cui si debba trovare la retta tangente a una ellisse o una iperbole.
Dai un'occhiata a questo topic.
Modificato da - fireball il 30/04/2004 13:52:29
ok ho visto il topic, e pensare che credevo di scrivere perfvore tutto attaccato
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Modificato da - solid il 30/04/2004 16:04:30
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Modificato da - solid il 30/04/2004 16:04:30
fireball quando digito troppo veloce con la tastiera mi capita di inceppare in alcuni errori di grammatica un po grossolani, comunque lo sapevo che ci andava h:-)
stasera mi sa tanto che apro un nuovo topic, fireball in 3 superiore tu hai fatto le equazioni esponenziali? il topic riguarda questo argomento e i logaritmi, come di regola il mio prof negli ultimi fatidici 10 minuti della lezione spiega, è proprio matto, poi si lamenta co il resto della classe per il rendimento, ma si puù spiegare per 10 minuti e basta?
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Modificato da - solid il 30/04/2004 16:06:57
stasera mi sa tanto che apro un nuovo topic, fireball in 3 superiore tu hai fatto le equazioni esponenziali? il topic riguarda questo argomento e i logaritmi, come di regola il mio prof negli ultimi fatidici 10 minuti della lezione spiega, è proprio matto, poi si lamenta co il resto della classe per il rendimento, ma si puù spiegare per 10 minuti e basta?
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Modificato da - solid il 30/04/2004 16:06:57
Io i logaritmi e gli esponenziali li ho fatti quest'anno, fino al mese scorso,
e sai quanto ho preso al compito in classe su questi argomenti?? 9,5!!!!
Il max era nove... Mi ha dato mezzo punto in più perché ho risolto un'equazione
in cui compariva l'incognita sia da sola che come argomento del logaritmo
(cioè un'equazione trascendente)!!!
Il più alto voto che sono riuscito a prendere in Matematica quest'anno, dopo il 9 in un compito di trigonometria!!
Scusate il momento di delirio...
Modificato da - fireball il 30/04/2004 21:35:48
e sai quanto ho preso al compito in classe su questi argomenti?? 9,5!!!!
Il max era nove... Mi ha dato mezzo punto in più perché ho risolto un'equazione
in cui compariva l'incognita sia da sola che come argomento del logaritmo
(cioè un'equazione trascendente)!!!
Il più alto voto che sono riuscito a prendere in Matematica quest'anno, dopo il 9 in un compito di trigonometria!! Scusate il momento di delirio...
Modificato da - fireball il 30/04/2004 21:35:48
perfetto allora saprai aiutarmi dato che lunedi 17 ho il compito sui logaritmi e equazioni esponenziali
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Volentieri!
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