Esercizi...

[ffennel]

Ciao ragazzi,

cosa potrei andarmi a studiare per risolvere problemi come questi? Li ho presi da un compito in classe di questo sito.

Sul libro su cui sto studiando non c'è niente al riguardo.

Esercizio 11. Scrivi, se possibile, un polinomio di quinto grado tale che, se lo dividiamo per $(x^2-2)$ otteniamo $-3/2x+1$ come resto.
Esercizio 12. Scrivi, se possibile, un polinomio di sesto grado in modo tale che non abbia radici e abbia termine noto nullo.
Esercizio 13. Scrivi, se possibile, un polinomio di quarto grado con termine noto uguale a $-5/3$ ed avente come uniche radici $x1=-1$ e $x2=4$.
Esercizio 16. Scrivi, se possibile, un polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo $1/2$, con termine noto $5$ ed avente come radici $x1=-2$ e $x2=6$.

Personalmente so cos'è la radice di un polinomio e so trovarla in casi semplici, tipo trovare un divisore del termine noto e controllare se è una radice, ma per risolvere gli esercizi sopra non saprei da dove cominciare.

Non è necessario che me li risolviate (a meno che non lo vogliate fare per voi).

Grazie.

[@melia]

"ffennel":
Esercizio 11. Scrivi, se possibile, un polinomio di quinto grado tale che, se lo dividiamo per $(x^2-2)$ otteniamo $-3/2x+1$ come resto.

Hai il divisore e il resto della divisione, devi cercare un quoziente che moltiplicato per il divisore e sommato al resto dia un polinomio di quinto grado. Il più semplice di tutti è $x^3$, ma va bene un qualunque polinomio di terzo grado.

Esercizio 12. Scrivi, se possibile, un polinomio di sesto grado in modo tale che non abbia radici e abbia termine noto nullo.

Se un polinomio non ha il termine noto, una radice è sicuramente $0$, quindi ...

Esercizio 13. Scrivi, se possibile, un polinomio di quarto grado con termine noto uguale a $-5/3$ ed avente come uniche radici $x1=-1$ e $x2=4$.

Per il teorema di Ruffini se $x_1=-1$ è una radice, allora il polinomio è divisibile per $x-(-1)$, cioè per $x+1$, idem per la seconda radice, quindi il polinomio di quarto grado deve essere il prodotto tra $x+1$, $x-4$, un polinomio di secondo grado senza radici, tipo $x^2+5$, e un coefficiente che permetta al termine noto di assumere il valore $-5/3$.

Esercizio 16. Scrivi, se possibile, un polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo $1/2$, con termine noto $5$ ed avente come radici $x1=-2$ e $x2=6$.

Come prima, sfruttando Ruffini, sappiamo che il nostro polinomio deve essere ottenuto tramite il prodotto dei due fattori che generano le radici con un eventuale coefficiente correttivo $a(x+2)(x-6)$ ...

[ffennel]

Ciao Sara,

Esercizio 11. Scrivi, se possibile, un polinomio di quinto grado tale che, se lo dividiamo per $(x^2-2)$ otteniamo $-3/2x+1$ come resto.

qui ho capito la tua soluzione, perché (e non l'avevo mai notato prima), il resto della divisione fra due polinomi è sempre di grado inferiore rispetto al divisore, quindi diciamo che posso spezzarlo in due.

Esercizio 12. Scrivi, se possibile, un polinomio di sesto grado in modo tale che non abbia radici e abbia termine noto nullo.

qua ho capito che non può esistere.

Gli esercizi 13 e 16 se ti dico che li ho capiti ti dico una bugia , però mi riprometto di tornarci sopra.

Sul mio libro c'è pochissimo sulle radici del polinomio, giusto una definizione (non so se sia un bene o un male ); per la verità lo trovo un libro molto ermetico e poco divulgativo comunque.