Esercitazione per compito(PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO

[BlackAngel]

Ciao ragà mi stò esercitando per il compito di matematica che sarà a breve(precisamente MARTEDÌ) ed ho provato a svolgere quest'esercizio:

Oa è la bisettrice di un angolo variabile di vertice fisso A: determinare il valore dell'angolo per cui risulti massima l'area del triangolo isoscele di vertice A che ha per base la congiungente i piedi B e C delle perpendicolari OB, OC condotte da O ai lati dell'angolo. [angolo=60°]

Io sono partita dall'area:

[math]A=\frac{BC*AH}{2}[/math]

Ho riscritto AH(l'altezza) e la base come

[math]AH=AB cosx[/math]

[math]BH=2ABsenx[/math]

Posto AB uguale ad un parametro a ho sostituito nell'area:

[math]A=\frac{2asenx*acosx}{2}= a^2(senx*cosx)[/math]

Poi passo alla derivata:

[math]A^1=a^2(senx*senx+ cosx(-cosx))[/math]

[math]A^1=a^2(sen^{2}x- cos^{2}x)[/math]

posta la derivata uguale a 0 mi ritrovo che senx= cosx e che quindi x= 45°.

Secondo voi ho sbagliato qualche calcolo o tutto il procedimento?? GRAZIE IN ANTICIPO A CHI RISPONDERÀ!!

[ciampax]

Dunqeu, vediamo: tu conosci

[math]OA=a[/math]

e se indichi con

[math]x=O\hat{A}B=O\hat{A}C[/math]

risulta pure che

[math]O\hat{B}A=O\hat{C}A=\frac{\pi}{2}[/math]

e quindi

[math]A\hat{O}B=A\hat{O}C=\frac{\pi}{2}-x[/math]

I triangoli

[math]AOB,\ AOC[/math]

sono congruenti, entrambi rettangoli, con

[math]AO[/math]

in comune e

[math]AB=AC,\ OB=OC[/math]

. Ne deduciamo che

[math]AB=OA\cos x=a\cos x[/math]

Se indichiamo con

[math]H[/math]

il punto di intersezione tra la base

[math]BC[/math]

e il segmento

[math]OA[/math]

segue che i triangoli

[math]ABH,\ ACH[/math]

sono congruenti ed entrambi rettangoli in

[math]H[/math]

: allora

[math]AH=AB\cos x=a\cos^2 x,\\ BH=CH=AB\sin x=a\cos x\sin x[/math]

Ma allora si ha per l'area

[math]A(x)=\frac{2BH\cdot AH}{2}=BH\cdot AH=a^2\cos^3 x\sin x[/math]

la cui derivata risulta

[math]A'(x)=a^2(-3\cos^2 x\sin^2 x+\cos^4 x)=\\
a^2\cos^2x(-3\sin^2 x+\cos^2 x)=\\
a^2\cos^2x(4\cos^2 x-3)[/math]

e quindi

[math]A'(x)=0[/math]

se e solo se

[math]\cos^2 x=0\ \Rightarrow\ \cos x=0\ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{2}[/math]

che è una situazione impossibile, oppure

[math]4\cos^2 x-3=0\ \Rightarrow\ \cos x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

le cui soluzioni sono

[math]x=30,\ x=330,\ x=150,\ x=210[/math]

Dovendo essere [math]x