Esercitazione di geometria analitica(problema)

[indovina]

Scrivere l'equazione della circonferenza z, avente il centro nel punto (0;4) tangente all'asse x e quella della circonferenza z" simmetrica di z rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
TRa le circonferenze del fascio determinato da z e z" trovare quelle che staccano sulla retta y+x=0 una corda che misura 8 radical 2. 

[Pillaus]

La circonferenza z ha raggio 4 è è centrata in (0,4), quindi ha equazione x^2 + (y-4)^2 = 16, in forma normale x^2 + y^2 - 8y = 0
z' ha equazione x^2 + y^2 - 8x = 0 (si ottiene scambiando x e y)

Se disegni una circonferenza attraversata da una retta, ti accorgi del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il raggio, per lati mezza corda intercettata dalla retta e la distanza tra la retta e il centro della circonferenza. Ne deduci che la corda misura 2 * radice(r^2 - d^2). Ora, scriviamo la generica circonferenza del fascio

x^2 + y^2 - 8y + k(x^2 + y^2 - 8x) = 0 => x^2 + y^2 - 2x (4k/(k + 1) ) - 2y (4/(k + 1)) = 0

Ora, il centro ha coordinate (4k/(k + 1) , 4/(k + 1) ); la distanza di questo punto dalla retta y = -x è:

|y0 - mx0 - q|/radice(m^2+1) = |4/(k+1) + 4k/(k+1)|/radicedi2 = 4/radicedi2

La distanza non dipende da k (come dev'essere, perché il centro si muove sulla retta y = - x + 4 su cui giacciono i centri delle circonferenze base). Il raggio, poiché la circonferenza generica passa per l'origine, è semplicemente x0^2+y0^2. Hai dunque:

8radicedi2 = 2 * radice(r^2 - d^2) => 32 = r^2 - d^2 = (4^2 + (4k)^2)/(k+1)^2 - 8 =>
40 (k+1)^2 = 16 + 16k^2 => 5(k^2 + 2k + 1) = 2 + 2k^2 => 3k^2 + 10k + 3 => k = -1/3,-3

[indovina]

perchè usi la formula 2 * radice(r^2 - d^2) non ho capito bene cosa sarebbe, poi la retta che intendi non è forse quella y= -x?

[Pillaus]

Si, la retta è quella, la formula è il teorema di pitagora applicato al triangolo rettangolo di cui sopra...

[indovina]

ok tutto chiaro grazie sempre dell'aiuto.Ciao