Esami di stato
buonasera a tutti!
sono alla ricerca di un sito dove trovare tutte le prove di maturità degli anni scorsi ma trovo sono fino al 1998 al massimo. qualcuno può darmi qualche link utile?
cmq....sono alle prese con la sessione suppletiva del 1991:
in un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri nel primo quadrante la circonferenza di raggio unitario tangente ai due assi coordinati.
detta r una retta passante per l'origine e secante la circonferenza nei punti A e B si studi come varia, al variare di r, l'area del triangolo ABC, essendo C il centro della circonferenza, e si determinino in particolare le due rette per cui dertta area assume valore massimo.
l'equazione della circonferenza è
C:$x^2-2x+y^2-2y+1=0$
della retta
r: y=mx
mentre le coordinate dei punti di intersezione A e B sono
A ($(1+m+sqrt(2m))/(1+m^2)$ ; $m((1+m+sqrt(2m))/(1+m^2))$)
B ($(1+m-sqrt(2m))/(1+m^2)$ ; $m((1+m-sqrt(2m))/(1+m^2))$)
per calcolare l'area io ho usato sa formula:
A(ABC)=1/2 per il valore assoluto della matrice quadrata di 3 ordine in cui nella prima colonna pongo le ascisse dei tre punti, nella seconda le ordinate degli stessi e nella terza 1
il problema è che i calcoli sono assurdi e non mi portano a nulla.
qualcuno può suggerirmi qualcosa?
grazie e buona serata a tutti!
sono alla ricerca di un sito dove trovare tutte le prove di maturità degli anni scorsi ma trovo sono fino al 1998 al massimo. qualcuno può darmi qualche link utile?
cmq....sono alle prese con la sessione suppletiva del 1991:
in un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri nel primo quadrante la circonferenza di raggio unitario tangente ai due assi coordinati.
detta r una retta passante per l'origine e secante la circonferenza nei punti A e B si studi come varia, al variare di r, l'area del triangolo ABC, essendo C il centro della circonferenza, e si determinino in particolare le due rette per cui dertta area assume valore massimo.
l'equazione della circonferenza è
C:$x^2-2x+y^2-2y+1=0$
della retta
r: y=mx
mentre le coordinate dei punti di intersezione A e B sono
A ($(1+m+sqrt(2m))/(1+m^2)$ ; $m((1+m+sqrt(2m))/(1+m^2))$)
B ($(1+m-sqrt(2m))/(1+m^2)$ ; $m((1+m-sqrt(2m))/(1+m^2))$)
per calcolare l'area io ho usato sa formula:
A(ABC)=1/2 per il valore assoluto della matrice quadrata di 3 ordine in cui nella prima colonna pongo le ascisse dei tre punti, nella seconda le ordinate degli stessi e nella terza 1
il problema è che i calcoli sono assurdi e non mi portano a nulla.
qualcuno può suggerirmi qualcosa?
grazie e buona serata a tutti!
Risposte
Per i siti ora come ora non saprei dirti.
Per il problema: veramente bello.
Io imposterei in due fasi separate: prima trovi quale triangolo ha area massima fra quelli che hanno un vertice nel centro e gli altri due sulla circonferenza; a questo punto trovi quant'è lunga la corda e cerchi le rette che formano una corda di quella lunghezza.
Non ho ancora fatto i conti e quindi non so se la cosa funziona o se ha dei calcoli ancora peggiori.
Per il problema: veramente bello.
Io imposterei in due fasi separate: prima trovi quale triangolo ha area massima fra quelli che hanno un vertice nel centro e gli altri due sulla circonferenza; a questo punto trovi quant'è lunga la corda e cerchi le rette che formano una corda di quella lunghezza.
Non ho ancora fatto i conti e quindi non so se la cosa funziona o se ha dei calcoli ancora peggiori.
Forse conviene risolvere il problema in maniera mista.
Se y=mx (dove $m=tang(alpha)$) e' l'equazione di r,risulta :
$CH=(|1-m|)/(sqrt(1+m^2))$.Per Pitagora,dal triangolo rettangolo CAH si ricava:
$bar(AH)=sqrt(bar(CA)^2-bar(CH)^2)=sqrt2*(sqrt(m))/(sqrt(1+m^2))$
Pertanto l'area S del triangolo ABC sara' data da:
$S=bar(AH)*bar(CH)=sqrt2*(|1-m|sqrtm)/(1+m^2)$
Posto S=Y ed m=X,possiamo distinguere 2 casi:
a)$0<=X<=1$ ed in tal caso la funzione da studiare e':
$Y=sqrt2*((1-X)sqrtX)/(1+X^2)$
Questa funzione presenta un massimo $M=1/2$ per $X=2-sqrt3$ ,corrispondente
ad una angolazione di r sull'asse x pari a 15°
b)$X>=1$ ed in tal caso la funzione da studiare e':
$Y=sqrt2*((X-1)sqrtX)/(1+X^2)$
Questa funzione presenta un massimo $M=1/2$ per $X=2+sqrt3$ ,corrispondente
ad una angolazione di r sull'asse x pari a 75°
karl
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