Esagono regolare

[maria601]

In un esagono regolare congiungi i punti medi di due coppie di lati opposti. Dimostra che tali segmenti sono le diagonali di un rettangolo. Ho provato a fare questa dimostrazione ma i punti medi sono i punti di tangenza della circonferenza inscritta ?

[Luca114]

Si, i punti medi sono i punti di tangenza della circonferenza inscritta.
Qui serve un teorema della circonferenza che dice che ogni angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Se hai bisogno di altre informazioni, chiedi pure.

[maria601]

Posso affermare che ogni congiungente i punti medi di due lati opposti essendo mediana è perpendicolare ad ognuno dei lati opposti e quindi passa per il centro, cioè è il diametro, pertanto ognuno degli angoli è inscritto in una semicirconferenza e quindi è retto, spero di essere stata chiara.

[Luca114]

"maria60":Posso affermare che ogni congiungente i punti medi di due lati opposti essendo mediana è perpendicolare ad ognuno dei lati opposti e quindi passa per il centro, cioè è il diametro, pertanto ognuno degli angoli è inscritto in una semicirconferenza e quindi è retto, spero di essere stata chiara.

Attenta che con mediana si intende di un angolo e relativa ad un determinato lato; unendo i punti medi si ottiene un segmento e va dimostrato diversamente che passa per il centro.
In ogni caso, io avevo pensato così:
chiamiamo $A$ il vertice in alto a sinistra dell'esagono e poi ruotiamo con le lettere in senso orario.
Inscriviamo una circonferenza con centro $O$ all'esagono.
Prendiamo ora $M$ come punto medio di $AB$, $N$ come punto medio di $DE$ e congiungiamo i due punti. Stessa operazione con i punti $P$ e $Q$ sui rispettivi lati $EF$ e $BC$.
Uniamo anche $M$ con $Q$, $N$ con $P$, $M$ con $P$ e $N$ con $Q$.
Dobbiamo dimostrare che $MQNP$ è un rettangolo e di conseguenza unendo i vertici opposti di esso si ottengono le diagonali.
Per definizione di rettangolo si ha: un parallelogramma avente almeno un angolo retto.
Dato che la figura in questione non sappiamo essere un parallelogramma, possiamo riformulare la definizione di rettangolo:
un quadrilatero con quattro angoli retti.
Ora, partiamo da un angolo, ad esempio $M$, esso insiste sullo stesso arco dell'angolo piatto al centro $POC$, quindi ne è la metà, cioè $90°$. La stessa operazione la svolgi sugli altri tre angoli.

[maria601]

M insiste su POQ non su POC penso, ma perchè sarebbe piatto?

[giammaria2]

Perché le rette $MN,PQ$ passano per il centro $O$; di solito lo si dà per ovvio e non è difficile dimostrarlo.
Accettandolo, io direi così: le diagonali di $MQNP$ si incontrano nel loro punto di mezzo, quindi è un parallelogramma; inoltre le diagonali sono uguali, e un parallelogramma con diagonali uguali è un rettangolo.