Es. funzioni inverse
Salve,ho delle perplessità riguardo a questi esericizi:
allora..
i primi due consistono nel trovare la funzione inversa:
$f(x)= x^2$
e io ho fatto così..
$x^2=-y$
$x=- sqrty$
$f^-1(x)=- sqrty$
invece il risultato del libro dà: $f^-1(x)=- sqrtx$
Perchè?
L'altra invece è:
$f(x) = ln (2x + 3)$
E io ho fatto..
$ln2x= y -ln 3$
$lnx= (y -ln 3)/2$
$f^-1(x) = (y-ln3)/2$
Invece il risultato del libro è: $f^-1(x)= (e^x-3)/2$
Poi tra i compiti del prof. c'è questo che dice:
"caratterizzare la seguente funzione ed indicarne l'eventuale funzione inversa, specificando perchè esiste"
E i dati che da sono:
$f:RR rarr N$
$x rarr y= x^2$
Domanda: cosa intende per "caratterizzare la seguente funzione"?! sulla seconda parte penso di non aver dubbi.. per esistere l'inversa dev'essere biettiva,altrimenti niente!
e in questo caso l'inversa non dovrebbe essere..?!
$x= - sqrty$
allora..
i primi due consistono nel trovare la funzione inversa:
$f(x)= x^2$
e io ho fatto così..
$x^2=-y$
$x=- sqrty$
$f^-1(x)=- sqrty$
invece il risultato del libro dà: $f^-1(x)=- sqrtx$
Perchè?
L'altra invece è:
$f(x) = ln (2x + 3)$
E io ho fatto..
$ln2x= y -ln 3$
$lnx= (y -ln 3)/2$
$f^-1(x) = (y-ln3)/2$
Invece il risultato del libro è: $f^-1(x)= (e^x-3)/2$
Poi tra i compiti del prof. c'è questo che dice:
"caratterizzare la seguente funzione ed indicarne l'eventuale funzione inversa, specificando perchè esiste"
E i dati che da sono:
$f:RR rarr N$
$x rarr y= x^2$
Domanda: cosa intende per "caratterizzare la seguente funzione"?! sulla seconda parte penso di non aver dubbi.. per esistere l'inversa dev'essere biettiva,altrimenti niente!
e in questo caso l'inversa non dovrebbe essere..?!
$x= - sqrty$
Risposte
$f^-1(x)$ deve essere sempre qualcosa in funzione di x, $f^-1(x) = y$ è scorretto; una volta che ti sei trovato l'inversa, devi "sostituire" la y con la x perchè l'inversa è pur sempre una funzione che dipende da x.
Per il secondo, $log(a+b) != loga + logb$.
Per l'ultimo, per controllare se l'inversa è giusta basta che fai $f^-1(f(x))$ e deve venirti come risultato x.
Per il secondo, $log(a+b) != loga + logb$.
Per l'ultimo, per controllare se l'inversa è giusta basta che fai $f^-1(f(x))$ e deve venirti come risultato x.
Esercizio 1.
Oltre a quanto giustamente detto da Gatto89, io esordirei con strali di maledizioni nei confronti dell'autore dell'esercizio. Innanzitutto per parlare di applicazione (o funzione) occorre assegnare due insiemi che facciano rispettivamente da dominio e codominio e in questo caso io sti insiemi non li vedo; volendo essere buoni ed adottare la convenzione dei testi liceali secondo cui il dominio è la più grande parte di $RR$ nella quale abbia senso "operare", quella applicazione non è invertibile, perché non iniettiva in $RR$; infine, non ho capito il meno: se è $y=f(x)=x^{2}$, allora non dovrebbe essere, al più, $x=\sqrt{y}$, donde $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$?
Esercizio 2.
Questa è invertibile: $y=f(x)=ln(2x+3)=>e^{y}=2x+3$ per definizione di logaritmo; facendo i conti e sostituendo $y$ con $x$ arrivi al risultato.
Esercizio 3.
L'inversa non esiste: $-2 \in RR$ e $2 \in RR$, inoltre $(-2)^{2}=(2)^{2}=4 \in NN$ e questo ci dice che essa non è iniettiva.
Oltre a quanto giustamente detto da Gatto89, io esordirei con strali di maledizioni nei confronti dell'autore dell'esercizio. Innanzitutto per parlare di applicazione (o funzione) occorre assegnare due insiemi che facciano rispettivamente da dominio e codominio e in questo caso io sti insiemi non li vedo; volendo essere buoni ed adottare la convenzione dei testi liceali secondo cui il dominio è la più grande parte di $RR$ nella quale abbia senso "operare", quella applicazione non è invertibile, perché non iniettiva in $RR$; infine, non ho capito il meno: se è $y=f(x)=x^{2}$, allora non dovrebbe essere, al più, $x=\sqrt{y}$, donde $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$?
Esercizio 2.
Questa è invertibile: $y=f(x)=ln(2x+3)=>e^{y}=2x+3$ per definizione di logaritmo; facendo i conti e sostituendo $y$ con $x$ arrivi al risultato.
Esercizio 3.
L'inversa non esiste: $-2 \in RR$ e $2 \in RR$, inoltre $(-2)^{2}=(2)^{2}=4 \in NN$ e questo ci dice che essa non è iniettiva.
Tra l'altro la terza non è nemmeno una funzione a dire il vero (esistono una marea di quadrati di reali che non appartengono ai naturali)... sicuro che non sia $f:NN rarr RR$?
nono.. è proprio così la terza!
Ps. il terzo es. l'ha assegnato il prof. dell'università come esercizio della prova d'esame (oltre ad altri ovviamente..)
Ps. il terzo es. l'ha assegnato il prof. dell'università come esercizio della prova d'esame (oltre ad altri ovviamente..)
Scusa wizard,ma nel 3° es. quando fai $(-2)^2=(2)^2$ ecc.. il 2 è un valore che attribuisci tu ad x e sostituisci a y,giusto? poteva anche essere 3,4... no?!
E per caratterizzare cosa "intende" il prof???
Cosa potrebbe intendere più che altro...visto che cosa vuole di preciso è un mistero....
E per caratterizzare cosa "intende" il prof???
Cosa potrebbe intendere più che altro...visto che cosa vuole di preciso è un mistero....
Una funzione può essere definita come una regola che ad ogni elemento del dominio associa un unico elemento del codomio.
Nel tuo caso, il dominio è $RR$ e il codominio è $NN$. Ti basta prendere $x = 1/2$, hai che $f(x) = (1/2)^2 = 1/4 \notin NN$ quindi puoi dire che $f(x)$ non è una funzione.
Nel tuo caso, il dominio è $RR$ e il codominio è $NN$. Ti basta prendere $x = 1/2$, hai che $f(x) = (1/2)^2 = 1/4 \notin NN$ quindi puoi dire che $f(x)$ non è una funzione.
Ok,grazie!certo.. rimango un pò scettica su come e se riuscirò a fare il compito!:(
"DaFnE":
Scusa wizard,ma nel 3° es. quando fai $(-2)^2=(2)^2$ ecc.. il 2 è un valore che attribuisci tu ad x e sostituisci a y,giusto? poteva anche essere 3,4... no?!
No. La questione è molto più profonda, come giustamente ha fatto notare l'amico Gatto89, ma quando ti ho risposto ero unicamente concentrato sulla iniettività della (finta) applicazione: per confutare l'iniettività di una applicazione ti basta trovare due valori diversi del dominio la cui immagine per mezzo della applicazione sia la medesima.
"Gatto89":
Una funzione può essere definita come una regola che ad ogni elemento del dominio associa un unico elemento del codomio.
Vista che DaFnE frequenta l'Università, a rischio di sembrare inutilmente pignolo, vorrei dire che definire una applicazione come una regola mi pare una parola grossa: al più, possiamo dire che una applicazione può essere pensata, intesa, considerata, vista operativamente come una regola. Questo perché non mi pare sia definito il concetto di regola. Si potrebbe obiettare che la regola è l'espressione che visualizza l'applicazione, ma le applicazioni sono un concetto ben più esteso ed astratto della semplice formula algebrica.
"WiZaRd":
[quote="Gatto89"]Una funzione può essere definita come una regola che ad ogni elemento del dominio associa un unico elemento del codomio.
Vista che DaFnE frequenta l'Università, a rischio di sembrare inutilmente pignolo, vorrei dire che definire una applicazione come una regola mi pare una parola grossa: al più, possiamo dire che una applicazione può essere pensata, intesa, considerata, vista operativamente come una regola. Questo perché non mi pare sia definito il concetto di regola. Si potrebbe obiettare che la regola è l'espressione che visualizza l'applicazione, ma le applicazioni sono un concetto ben più esteso ed astratto della semplice formula algebrica.[/quote]
Non sei assolutamente pignolo in questo caso, vedendo il post qui pensavo DaFnE fosse una ragazza del liceo e per questo gliel'ho definita come la si definisce al liceo (tanto più che ho visto nei primi due esercizi non erano nemmeno definiti dominio e codominio)
A dire il vero non sono sicuro che DaFnE faccia l'università. L'ho detto perché lei ha scritto
"DaFnE":
Ps. il terzo es. l'ha assegnato il prof. dell'università come esercizio della prova d'esame (oltre ad altri ovviamente..)
sisi ha ragione wizard!faccio l'università (econ.servizi turistici).. ma ho ritenuto più idoneo scrivere sul post dei superiori visto che al l.classico tutte queste cose non le avevo fatte e sono più argomenti ancora di liceo che di università. tutto qui!
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