Equazioni/proporzioni con ignoti

[Azziana]

Primo esercizio:
2+y+(2x-1)^2=3y+(4x-1)(x+1)
5x+(6y+2)^2=(9y+1)(4y-2)+82

Secondo esercizio:
y-(3x-2)(3x+2)=3y-9x(x-1)
(5y+1)^2-(5y+2)^2=45x-23

In pratica bisogna trovare le ignote (ovviamente), risolvendo prima le potenze e sommando/sottraendo le due equazioni. Se potete anche spiegarmele, grazie ._.

[bimbozza]

Ti svolgo il primo, il secondo è molto simile...
2+y+(2x-1)^2=3y+(4x-1)(x+1)
5x+(6y+2)^2=(9y+1)(4y-2)+82

nella prima equazione svolgiamo il quadrato di binomio al primo membro e la moltiplicazione al secondo membro,idem nella seconda equazione
2+y+4x^2+1-4x=3y+4x^2+4x-x-1
5x+36y^2+4+24y=36y^2-18y+4y-2+82

adesso eliminiamo gli opposti e sommiamo i simili
-2y-7x+4=0
5x+38y-76=0

adesso ricaviamo un'incognita in una delle due equazione e la sostituiamo nell'altra
y=(-7x+4)/2
5x+38(-7x+4)/2-76=0

svolgiamo i calcoli nella seconda equazione e riscriviamo la prima tale e quale
y=(-7x+4)/2
5x-133x+76-76=0

y=(-7x+4)/2
5x-133x=0

dalla seconda ricaviamo x=0 che, sostituito nella prima equazione, ci dà
y=2

[BIT5]

la prima

elevi al quadrato 2x-1, ricordando il quadrato del binomio. Otterrai

[math] 4x^2-4x+1 [/math]

moltiplichi poi (4x-1)(x+1) ottenendo 4x^2+4x-x-1 = 4x^2+3x-1

l'equazione diverra'

[math] 2 + y + 4x^2-4x+1=3y+4x^2 +3x-1 [/math]

porti tutto a sinistra dell'uguale

[math] 2+y+4x^2-4x+1-3y-4x^2-3x+1=0 \to -7x-2y+4=0 [/math]

e quindi cambiano tutti i segni (per comodita')

[math] 7x+2y-4=0 [/math]

la seconda... anche qui elevi 6y+2 al quadrato (quadrato del binomio

[math] (a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2 [/math]

e moltiplichi 9y+1 per 4y-2

otterrai

[math] 5x+36y^2+24y+4=36y^2-18y+4y-2+82 [/math]

porti tutto a sinistra

[math] 5x+ \no{36y^2} + 24y + 4 - \no{36y^2} + 18y - 4y +2 -82 = 0 [/math]

e sommi

[math] 5x+38y-76=0 [/math]

otterrai dunque alla fine

[math] \{ 7x+2y-4=0 \\ 5x+38y-76=0 [/math]

a questo punto devi applicare il metodo di riduzione. Per poterlo applicare, pero', devi avere almeno un coefficiente di x o di y uguale.

Equipariamo i coefficienti di y (ma con x e' la stessa)

questo significa che il coefficiente della prima equazione (2) lo dobbiamo far diventare 38. Quindi bastera' moltiplicare TUTTI i termini dell'equazione per 19, cosi' (II principio di equivalenza)

[math] 19 (7x+2y-4) = 19 \cdot 0 [/math]

quindi

[math] 133 x + 38 y - 76 = 0 [/math]

e quindi il sistema sara'

[math] \{ 133 x + 38 y - 76 = 0 \\ 5x+38y-76=0 [/math]

a questo punto sottraiamo dalla prima equazione, la seconda, addendo per addendo, quindi

133x-5x=128x
38y-38y=0
-76 - - 76 = 0

rimarra' 128x=0 da cui x=0

a questo punto, sostituisci il valore trovato (x=0) a una delle due equazioni e ottieni y (ad esempio in 5x+38y-76=0 avrai, 0+38y-76=0 da cui 38y=76 e quindi y=76/38 = 2

la seconda è identica

Aggiunto 37 secondi più tardi:

@ bimbozza, abbiamo risposto insieme :)