Equazioni riducibile per scomposizione
Ho risolto questo esercizio, che è facile e quindi l'unico dubbio è su uno dei risultati, allora ecco l'equazione:
Risolvi la seguente equazione riducibile per scomposizione
$ t^4+t^3-16t^2-16t=0 $
Ho pensato di ridurre di grado in questo modo:
$ t(t^3+t^2-16t-16)=0 $
Allora ho pensato che un primo risultato è $ t=0 $ , poi mediante la regola Ruffini, con $ x=-1 $ e quindi dividendo l'equazione per $ (x+1) $ ho ridotto di un grado ancora l'equazione, arrivando a $ t^2-16=0 $ e quindi alla conclusione di $ t=+-4 $
Chiedo a voi gentilmente una conferma se i passaggi che mi hanno dato il primo risultato per $ t=0 $ sono giusti!?
Insomma ho fatto bene a ridurre di grado l'equazione in quel modo? Cioè questo:
$ t(t^3+t^2-16t-16)=0 $
Grazie mille!
Risolvi la seguente equazione riducibile per scomposizione
$ t^4+t^3-16t^2-16t=0 $
Ho pensato di ridurre di grado in questo modo:
$ t(t^3+t^2-16t-16)=0 $
Allora ho pensato che un primo risultato è $ t=0 $ , poi mediante la regola Ruffini, con $ x=-1 $ e quindi dividendo l'equazione per $ (x+1) $ ho ridotto di un grado ancora l'equazione, arrivando a $ t^2-16=0 $ e quindi alla conclusione di $ t=+-4 $
Chiedo a voi gentilmente una conferma se i passaggi che mi hanno dato il primo risultato per $ t=0 $ sono giusti!?
Insomma ho fatto bene a ridurre di grado l'equazione in quel modo? Cioè questo: $ t(t^3+t^2-16t-16)=0 $
Grazie mille!
Risposte
I passaggi in sé sono corretti.
Forse superflui:
\(t^{4}+t^{3}-16t^{2}-16t=0 \implies t^{3}(t+1)-16t(t+1)=0 \implies (t+1)(t^{3}-16t)=0\)
\(\implies (t+1)t(t^{2}-16)=0 \implies t(t+1)(t+4)(t-4)=0\)
da cui per la legge di annullamento del prodotto si ricavano le radici dell'equazione.
Forse superflui:
\(t^{4}+t^{3}-16t^{2}-16t=0 \implies t^{3}(t+1)-16t(t+1)=0 \implies (t+1)(t^{3}-16t)=0\)
\(\implies (t+1)t(t^{2}-16)=0 \implies t(t+1)(t+4)(t-4)=0\)
da cui per la legge di annullamento del prodotto si ricavano le radici dell'equazione.
Cambia il titolo: questa non è certo un'equazione parametrica.
Hai fatto bene a mettere in evidenza $t$ e a dire che il primo risultato è $t=0$ ma poi hai sbagliato a dividere per $(t+1)$ perché potrebbe valere zero; anzi il secondo risultato è proprio
$t+1=0=>t=-1$ (forse lo hai considerato, ma dalle tue parole pare di no).
Per la scomposizione in fattori, il raccoglimento a gruppi consigliato da WiZaRd è più rapido della divisione con Ruffini.
Hai fatto bene a mettere in evidenza $t$ e a dire che il primo risultato è $t=0$ ma poi hai sbagliato a dividere per $(t+1)$ perché potrebbe valere zero; anzi il secondo risultato è proprio
$t+1=0=>t=-1$ (forse lo hai considerato, ma dalle tue parole pare di no).
Per la scomposizione in fattori, il raccoglimento a gruppi consigliato da WiZaRd è più rapido della divisione con Ruffini.
"WiZaRd":
I passaggi in sé sono corretti.
Forse superflui:
\(t^{4}+t^{3}-16t^{2}-16t=0 \implies t^{3}(t+1)-16t(t+1)=0 \implies (t+1)(t^{3}-16t)=0\)
\(\implies (t+1)t(t^{2}-16)=0 \implies t(t+1)(t+4)(t-4)=0\)
da cui per la legge di annullamento del prodotto si ricavano le radici dell'equazione.
E' vero, adesso ricordo anche questi metodi che sono molto più rapidi di tutti quei passaggi che faccio io, ti devo ringraziare vivamente!
Grazie
"giammaria":
Cambia il titolo: questa non è certo un'equazione parametrica.
ma poi hai sbagliato a dividere per $(t+1)$ perché potrebbe valere zero; anzi il secondo risultato è proprio
$t+1=0=>t=-1$ (forse lo hai considerato, ma dalle tue parole pare di no).
Sinceramente io ho diviso per $ (t+1) $ che ovviamente è $ t=-1 $ infatti nella tabella di Ruffini, quando si intende dire che si divide es. $ (x+1) $ , a sinistra nell'apposito spazio si inserisce il contrario di $ +1 $ che è $ -1 $ . Penso di aver fatto bene, giusto!
"Bad90":
[quote="giammaria"]Cambia il titolo: questa non è certo un'equazione parametrica.
ma poi hai sbagliato a dividere per $(t+1)$ perché potrebbe valere zero; anzi il secondo risultato è proprio
$t+1=0=>t=-1$ (forse lo hai considerato, ma dalle tue parole pare di no).
Sinceramente io ho diviso per $ (t+1) $ che ovviamente è $ t=-1 $ infatti nella tabella di Ruffini, quando si intende dire che si divide es. $ (x+1) $ , a sinistra nell'apposito spazio si inserisce il contrario di $ +1 $ che è $ -1 $ . Penso di aver fatto bene, giusto!
[/quote]Se hai diviso i membri dell'equazione per \(t+1\) hai ovviamente sbagliato.
L'idea dell'uso della scomposizione con la regola di Ruffini è che si passi dall'equazione al polinomio, si scomponga quest'ultimo e lo si sostituisca lo stesso con la scomposizione sopra ottenuta.
Detto in altri termini: si parte da \(t^{3}+t^{2}-16t-16=0\), si passa al polinomio \(P(t)=t^{3}+t^{2}-16t-16\), si utilizza la regola di Ruffini per scomporre detto polinomio nel polinomio \(\left(t+1) \cdot Q(t)\right)\) (dove \(Q(t)\) è il polinomio quoziente ottenuto attraverso la divisione con la regola di Ruffini tra \(P(t)\) e \(\left(t+1\right)\)) ed infine si passa all'equazione, equivalente a quella iniziale, \(t\left(t+1\right)Q(t)=0\).
Quindi se ho ben capito, Ruffini si utilizza per avere una equazione equivalente?! 
Certamente: il teorema e la regola di Ruffini riguardano i polinomi e permettono di scomporre questi in prodotti di polinomi di grado inferiore. Partendo da una qualunque equazione, scritta questa in forma normale (i.e. polinomio = 0) con il teorema e la regola di Ruffini, se possibile, si trasforma il polinomi iniziale in un prodotto di polinomi di grado inferiore sicché l'equazione iniziale risulta trasformata in un'altra ad essa equivalente e le soluzioni di quest'ultima si trovano applicando poi la legge di annullamento del prodotto a ciascuno dei fattori del prodotto polinomiale ottenuto.
"WiZaRd":
Certamente: il teorema e la regola di Ruffini riguardano i polinomi e permettono di scomporre questi in prodotti di polinomi di grado inferiore. Partendo da una qualunque equazione, scritta questa in forma normale (i.e. polinomio = 0) con il teorema e la regola di Ruffini, se possibile, si trasforma il polinomi iniziale in un prodotto di polinomi di grado inferiore sicché l'equazione iniziale risulta trasformata in un'altra ad essa equivalente e le soluzioni di quest'ultima si trovano applicando poi la legge di annullamento del prodotto a ciascuno dei fattori del prodotto polinomiale ottenuto.
Grazie milleeeeeeeeeeeeeeeeee
Prego.
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