Equazioni parametriche di secondo grado.

[Antonio_Esposito95]

Per ogni equazione parametrica nell'incognita x determina i valori del parametro affinchè siano soddisfatte le condizioni scritte sotto.

x al quadrato -4x+4m al quadrato(solo m al quadrato,4 no)-1=0

a)una radice è doppia dell'altra; Risultato[m= + e - 3/2]
b) una radice è quadrupla dell'altra. Risultato[m= + e - 5/6]

[BIT5]

[math] x^2-4x+4m^2 -1 = 0 [/math]

in questa equazione, sappiamo che (riconducendola alla forma canonica ax^2+bx+c=0 )

a=1
b=-4
c=4m^2-1

le due soluzioni generiche di questa equazione saranno, con la formula

[math] x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4^2-4(1)(4m^2-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-16m^2+4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16m^2+12}}{2} [/math]

Ancora, per comodita', raccogliamo 4 sotto radice

[math] x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(-4m^2+3)}}{2} [/math]

portiamo fuori

[math] x_{1,2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{-4m^2+3}}{2} [/math]

raccogliamo il fattore comune 2

[math] x_{1,2} = \frac{2 \(2 \pm \sqrt{- 4m^2+3} \) }{2} [/math]

e semplifchiamo con il denominatore

le due soluzioni saranno

[math] x_1 = 2 + \sqrt{- 4m^2+3} \ \ \ \ x_2=2- \sqrt{-4m^2+3} [/math]

ed esisteranno (avranno significato) quando il radicando sara' >= 0 ovvero

[math] -4m^2+3 \ge 0 \to 4m^2 \le 3 \to m^2 \le \frac34 \to - \frac{\sqrt3}{2} \le x \le + \frac{\sqrt3}{2} [/math]

Affinche' una sia il doppio dell'altro sara'

[math] x_1=2x_2 [/math]

oppure

[math] x_2 = 2x_1 [/math]

nel primo caso

[math] 2 + \sqrt{- 4m^2+3} =4- 2 \sqrt{-4m^2+3} \to 3 \sqrt{-4m^2+3} = 2 [/math]

elevi tutto al quadrato

[math] 9(-4m^2+3) = 4 \to -36m^2+27=4 \to 36m^2=31 \to m^2= \frac{31}{36} [/math]

non accettabile perche' non compreso nel campo di esistenza (31/36 e' maggiore di 3/4 e quindi la radice non sara' compresa tra -radice3/2 e radice3/2

analogamente provi l'altro caso trovando le soluzioni (che saranno accettabili)

ripeti il tutto per il secondo punto

[bimbozza]

[math]x^2-4x+4m^2-1=0[/math]

ho svolto il punto a) in 2 modi diversi ma entrambi mi tornano uguali tra di loro ma diversi dalla tua soluzione...mi vien da pensare che il testo si sbagliato... è possibile? Il punto b) si svolge in modo analogo al punto a) quindi preferisco non svolgerlo finchè non avrò una tua conferma...