Equazioni logaritmiche con basi diverse

[mimoletti]

Buongiorno,

Devo risolvere il seguente esercizio:

$ 1/2log_3 X^2+2=-log_(1/3)2 $

Questi sono i passaggi che ho fatto al momento:

$ log_3sqrt(X^2)+log_(1/3)2=-2 $

$ log_3X+log_(1/3)2=-2 $

$ log_3X+log_3 2/log_3 (1/3) =-2 $

Mi potreste dire se sono corretti?

Grazie mille.

[Mephlip]

Ciao mimoletti, benvenut* sul forum!

Sbagli qui:

"mimoletti":
$ log_3sqrt(X^2)+log_(1/3)2=-2 $

$ log_3X+log_(1/3)2=-2 $

è $\sqrt{X^2}=|X|$.

Inoltre, devi imporre la condizione di esistenza per $\log_3 X^2$.

[mimoletti]

La condizione di esistenza è che X > 0, esatto?

log_3 1/3 = -1

[Mephlip]

No, la condizione di esistenza è $X^2>0$ (e quest'ultima non è equivalente a $X>0$).

[mimoletti]

$ log_3|X|+log_3 2/log_3(1/3)=-2 $

E' giusto ora?

[mimoletti]

Credo di aver capito:

$ 1/2log_3x^2+2=-log_(1/3) 2 $

$ log_3sqrt(x^2)+2=-log_3 (1/2) $

$ log_3|x|+log_3 (1/2)=-2 $

$ log_3(|x|/1*1/2)=-2 $

$ |x|/2=3^-2 $

$ |x|/2=1/3^2 $

$ |x|/2=1/9 $

$ |x|=2/9 $

$ x=+- 2/9 $

C.E. $ x^2>0 $

[Mephlip]

I passaggi algebrici sono corretti, ma devi risolvere $x^2>0$ perché cerchi una condizione su $x$, non sul suo quadrato $x^2$. Per quali $x\in\mathbb{R}$ è vero che $x^2>0$?

[mimoletti]

C.E. x>0,x≠0 ??

Grazie.

[@melia]

Solo $x!=0$

[mimoletti]

Grazie mille.

[mimoletti]

Questo è un nuovo esercizio:

Tralasciando per il momento il calcolo del C.E. che faro in seguito, mi potreste dire se i vari passaggi algebrici sono corretti? Grazie.

$ 3log_(1/2) x -2= log_2(x^3-1) $

$ log_(1/2) x^3 - log_2(x^3-1) = 2 $

$ -log_2 x^3 - log_2(x^3-1) = 2 $

$ log_2 x^3 + log_2(x^3-1) = -2 $

[moccidentale]

.

[mimoletti]

$ log_2 [x^3(x^3-1)]= -2 $

$ 2^[x^3(x^3-1)]= 2^-2 $

$ [x^3(x^3-1)]= 2^-2 $

$ x^6-x^3= 1/2^2 $

$ x^6-x^3= 1/4 $

[mimoletti]

$ x^6-x^3-1/4=0 $

$ 4x^6-4x^3-1=0 $

$ 4(x^3)^2-4x^3-1=0 $

$ t = x^2 $

$ 4t^2-4t-1=0 $

$ t_1,_2 = [4 +- sqrt(32)]/8=[4+- 4 sqrt(2])/(4*2)=(1+- sqrt(2))/2 $

Scusate è corretto fino a questo punto?

Grazie.