Equazioni irrazionali, banale dubbio
$ 1+t+sqrt(t^2-t+1)=0 $ ;
$1+t-sqrt(t^2-t+1)=0 $
Queste due equazioni la prima non ha soluzioni, mentre la seconda t=0 è giusto? Perchè poi? cioe' il metoodo risolutivo non è lo stesso? Elevo al quadrato destra/sinistra non dovrebbe essere =0 in entrambe così?
$1+t-sqrt(t^2-t+1)=0 $
Queste due equazioni la prima non ha soluzioni, mentre la seconda t=0 è giusto? Perchè poi? cioe' il metoodo risolutivo non è lo stesso? Elevo al quadrato destra/sinistra non dovrebbe essere =0 in entrambe così?
Risposte
Una delle regole fondamentali quando si parla di equazioni è quella che afferma che due equazioni sono equivalenti se si moltiplicano ambo i membri per uno stesso numero diverso da zero; ora, per esempio, quando tu nella prima $sqrt(t^2-t+1)=-1-t$ elevi al quadrato entrambi i membri sei sicuro che abbiano lo stesso segno (ovvero siano uguali) ?
Devi prima porre questa condizione ...
Cordialmente, Alex
Devi prima porre questa condizione ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Una delle regole fondamentali quando si parla di equazioni è quella che afferma che due equazioni sono equivalenti se si moltiplicano ambo i membri per uno stesso numero diverso da zero; ora, per esempio, quando tu nella prima $sqrt(t^2-t+1)=-1-t$ elevi al quadrato entrambi i membri sei sicuro che abbiano lo stesso segno (ovvero siano uguali) ?
Devi prima porre questa condizione ...
Cordialmente, Alex
Elevando al quadrato ambo i membri nella prima ottengo: $t^2-t+1=1-2t+t^2$ e svolgendo t=0
la seconda: $1+t^2+2t=t^2-t+1$ ecco così avevo provato a fare... e da entrambe otterrei 0 ed in nessuna delle due vedo che i membri sono "uguali" quindi ho sempre questa soluzione.
La prima non ha soluzioni.
Quando devi risolvere $ 1+t+sqrt(t^2-t+1)=0 $ ovvero $ sqrt(t^2-t+1)=-t-1 $
devi mettere a sistema $ t^2-t+1>=0 \wedge -t>=1 $ (sul perché di questo non ci dovrebbero essere dubbi)
per cui, elevando al quadro entrambi i membri dell'equazione di partenza, hai:
$\{(t^2-t+1=t^2+2t+1),(t^2-t+1>=0),(t<=-1):}$
dove la prima, se risolta da t=0; la seconda è sempre verificata; la terza va messa a sistema con la prima. Facendo quest'ultima cosa si ha come soluzione proprio l'insieme vuoto.
Se invece vai a risolvere $ 1+t-sqrt(t^2-t+1)=0 $
Hai questo sistema, analogo al precedente:
$\{(t^2-t+1=t^2+2t+1),(t^2-t+1>=0),(t>=-1):}$
Adesso l'intersezione delle soluzioni delle tre equazioni ti dà la soluzione t=0.
Quando devi risolvere $ 1+t+sqrt(t^2-t+1)=0 $ ovvero $ sqrt(t^2-t+1)=-t-1 $
devi mettere a sistema $ t^2-t+1>=0 \wedge -t>=1 $ (sul perché di questo non ci dovrebbero essere dubbi)
per cui, elevando al quadro entrambi i membri dell'equazione di partenza, hai:
$\{(t^2-t+1=t^2+2t+1),(t^2-t+1>=0),(t<=-1):}$
dove la prima, se risolta da t=0; la seconda è sempre verificata; la terza va messa a sistema con la prima. Facendo quest'ultima cosa si ha come soluzione proprio l'insieme vuoto.
Se invece vai a risolvere $ 1+t-sqrt(t^2-t+1)=0 $
Hai questo sistema, analogo al precedente:
$\{(t^2-t+1=t^2+2t+1),(t^2-t+1>=0),(t>=-1):}$
Adesso l'intersezione delle soluzioni delle tre equazioni ti dà la soluzione t=0.
"SirDanielFortesque":
La prima non ha soluzioni.
Quando devi risolvere $ 1+t+sqrt(t^2-t+1)=0 $ ovvero $ sqrt(t^2-t+1)=-t-1 $
devi mettere a sistema $ t^2-t+1>=0 \wedge -t>=1 $ (sul perché di questo non ci dovrebbero essere dubbi)
per cui, elevando al quadro entrambi i membri dell'equazione di partenza, hai:
$\{(t^2-t+1=t^2+2t+1),(t^2-t+1>=0),(t<=-1):}$
dove la prima, se risolta da t=0; la seconda è sempre verificata; la terza va messa a sistema con la prima. Facendo quest'ultima cosa si ha come soluzione proprio l'insieme vuoto.
Se invece vai a risolvere $ 1+t-sqrt(t^2-t+1)=0 $
Hai questo sistema, analogo al precedente:
$\{(t^2-t+1=t^2+2t+1),(t^2-t+1>=0),(t>=-1):}$
Adesso l'intersezione delle soluzioni delle tre equazioni ti dà la soluzione t=0.
Ah, giusto! che stupido. Grazie ahha
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