Equazioni irrazionali
l'equazione è del tipo $root(n)(A(x))=B(b)$
Il dubbio è: per n pari che bisogno c'è di porre la condizione di realtà $B(x)>=0$? Anche se quest'ultima è negativa se la si va ad elevare con un esponente pari risulterà sempre positiva?
Non si dovrebbe piuttosto porre tale condizione per gli n dispari?
ho trovato difficoltà anche nella risoluzione di questo:
$9x=x^2-18x+81->x^2-27x+81$
$x_1=x_2 (27+- sqrt (324-324))/2=27/2$
Dov è che sbaglio, e da dove si capisce che i due risultati in immagine sono uno accettabile e l'altro non?
Risposte
"dRyW":
Il dubbio è: per n pari che bisogno c'è di porre la condizione di realtà $B(x)>=0$?
Quella condizione non è una condizione di realtà, piuttosto una condizione di positività. Si pone perchè, per convenzione, quando estrai una radice di indice pari, consideri solo il valore positivo. Per verificarlo, prova a sostituire nell'equazione di partenza un'eventuale soluzione non accettabile: troveresti che, assumendo la convenzione opposta, questa soluzione sarebbe accettabile, mentre non lo sarebbe più quella originale.
"dRyW":Un esempio forse può chiarirti le idee:
Il dubbio è: per $n$ pari che bisogno c'è di porre la condizione di realtà $B(x)>=0$? Anche se quest'ultima è negativa se la si va ad elevare con un esponente pari risulterà sempre positiva?
prendiamo $sqrtx = -1$
Abbiamo $n=2$ (pari), $A(x)=x$, $B(x)=-1$
Ovviamente $B(x)<0$ sempre.
Certamente questa equazione non ha soluzioni, perchè non ci sono numeri reali la cui radice quadrata è un numero negativo.
Procedendo come dice il testo avremmo : $sqrtx = -1 =>{(-1>=0),(x=1):}$ che non ha soluzioni perchè la prima equazione non è mai soddisfatta.
Procedendo come dici tu avremmo: $sqrtx = -1 => x=1 $. Quindi diremmo che c'è una soluzione, $x=1$.
Ma ciò è errato.
In pratica, il motivo per cui bisogna imporre che $B(x)>=0$ è che, essendo il primo membro un numero positivo o nullo (una volta messe le condizioni di esistenza), lo deve essere anche il secondo. Altrimenti non ci sono soluzioni.
Una domanda che potrebbe venirti spontanea a questo punto è: ma le condiizoni di esistenza non vengono messe? Perchè?
Risposta: effettivamente, quando si ha $rootn (A(x)) >=B(x)$ bisognerebbe mettere ${(A(x)>=0),(B(x)>=0),(A(x)=B(x)^n):}$
Ma capisci bene che se vale la terza condizione del sistema, si ha automaticamente che $A(x)>=0$, quindi non è necessario metterlo come condizione aggiuntiva.
Capito! Grazie 
Ma allora nel caso di n dispari?
Prendendo l'esercizio
se l'esponente della radice fosse stato dispari anche in quel caso si sarebbe dovuto precisare $B(x)>=0$
Ma allora nel caso di n dispari?
Prendendo l'esercizio
se l'esponente della radice fosse stato dispari anche in quel caso si sarebbe dovuto precisare $B(x)>=0$
Per quanto riguarda l'esercizio, sbagli nel calcolo del $\Delta$.
$\Delta = 27^2 -4 * 81 = 729 - 324 = 405$
Puoi facilemente verificare che $\sqrt(405) = 9\sqrt(5)$. Puoi continuare tu con il calcolo delle soluzioni.
La prima soluzione non è accettabile semplicemente perchè non è nel campo di accettabilità dato dalla prima disequazione del sistema, cioè $x>= 9$. La seconda invece cade nell'intervallo accettabile, e quindi la soluzione stessa è accettabile.
Se l'esponente è invece dispari, non serve precisare niente, visto che anche se la base del radicale è negativa, l'estrazione di radice è possibile.
$\Delta = 27^2 -4 * 81 = 729 - 324 = 405$
Puoi facilemente verificare che $\sqrt(405) = 9\sqrt(5)$. Puoi continuare tu con il calcolo delle soluzioni.
La prima soluzione non è accettabile semplicemente perchè non è nel campo di accettabilità dato dalla prima disequazione del sistema, cioè $x>= 9$. La seconda invece cade nell'intervallo accettabile, e quindi la soluzione stessa è accettabile.
Se l'esponente è invece dispari, non serve precisare niente, visto che anche se la base del radicale è negativa, l'estrazione di radice è possibile.
"dRyW":Se $n$ è dispari la cosa molto, molto più semplice.
Ma allora nel caso di $n$ dispari?
L'equazione $rootn(A(x))=B(x)$ è equivalente a $A(x)=B(x)^n$. Senza altre condizioni.
Questo perchè la radice dispari può avere come argomento qualsiasi numero reale (anche un numero negativo).
Grazie Abrason! Che errore idiota!
Gi8, credo di aver capito, adesso mi rendo conto che quella era una condizione necessaria. Grazie!
Gi8, credo di aver capito, adesso mi rendo conto che quella era una condizione necessaria. Grazie!
Vorrei continuare chiedendo aiuto...
razionalizzo:
$ \frac(sqrt(x+2)){5- sqrt(x+7)}-> \frac(sqrt(x+2)){5- sqrt(x+7)}*frac[5+ sqrt(x+7)][5+ sqrt[x+7]]->frac[(sqrt(x+2))+(5+ sqrt(x+7))][25-(x+7)]$
$sqrt(x+2)+5+ sqrt(x+7)=25-(x+7)$
e da qui in poi non ho più capito come il libro ha portato avanti la storia
razionalizzo:
$ \frac(sqrt(x+2)){5- sqrt(x+7)}-> \frac(sqrt(x+2)){5- sqrt(x+7)}*frac[5+ sqrt(x+7)][5+ sqrt[x+7]]->frac[(sqrt(x+2))+(5+ sqrt(x+7))][25-(x+7)]$
$sqrt(x+2)+5+ sqrt(x+7)=25-(x+7)$
e da qui in poi non ho più capito come il libro ha portato avanti la storia
Il libro ha semplicemente elevato al quadrato entrambi i membri dell'equazione, senza nessuna razionalizzazione che hai fatto tu.
Quando ci sono più radicali, bisogna elevare tante volte entrambi i membri dell'equazione in modo da eliminarli e, se hai elevato per un numero pari, fare la verifica delle soluzioni, altrimenti ogni valore è accettabile.
Quando ci sono più radicali, bisogna elevare tante volte entrambi i membri dell'equazione in modo da eliminarli e, se hai elevato per un numero pari, fare la verifica delle soluzioni, altrimenti ogni valore è accettabile.
Il libro parla di razionalizzazione, ma comunque anche con quest'ultima si può arrivare al risultato giusto?
Il problema è sempre il grado dell'equazione ottenuto alla fine degli elevamenti a potenza, che devi cercare di rendere minimo.
Non si parla di razionalizzare una frazione, ma una equazione. Quindi devi eliminare i radicali. Per farlo, occorre elevare i membri dell'equazione a una determinata potenza.
E' vero, senza razionalizzazione (dei denominatori) ho raggiunto il risultato dato dal libro.
Ma sarebbe possibile razionalizzare l'equazione portando le radici al denominatore e razionalizzarli man mano?
Essendo concetti abbandonati praticamente quando ero al biennio delle superiori mi sono rimasti tutti i difetti e gli interrogativi di allora.
Ma sarebbe possibile razionalizzare l'equazione portando le radici al denominatore e razionalizzarli man mano?
Essendo concetti abbandonati praticamente quando ero al biennio delle superiori mi sono rimasti tutti i difetti e gli interrogativi di allora.
Sì, ma
Se prima razionalizzi rischi di ottenere un grado più alto e, di conseguenza, un'equazione poco gestibile.
"@melia":
Il problema è sempre il grado dell'equazione ottenuto alla fine degli elevamenti a potenza, che devi cercare di rendere minimo.
Se prima razionalizzi rischi di ottenere un grado più alto e, di conseguenza, un'equazione poco gestibile.
Si, me ne sono accorto 
Perfetto grazie!
Perfetto grazie!
altro esempio:
con soluzioni -2; 1;
elevando ambo i membri al quadrato ottengo 4=0 cosa mi sfugge?
con soluzioni -2; 1;
elevando ambo i membri al quadrato ottengo 4=0 cosa mi sfugge?
Probabilmente sbagli a elevare al quadrato ...
Mi sembra che potresti fare così ...
Se inizialmente determini il dominio risolvendo il sistema $\{(4-x-x^2>=0),(x^2+x>=0):}$, trovi $(-1-sqrt(17))/2 <=x <= -1 uu 0<=x<=(-1+sqrt(17))/2$.
Se successivamente elevi al quadrato $sqrt(4-x-x^2) = sqrt(x^2+x)$, ottieni $4-x-x^2=x^2+x$, da cui $2x^2+2x-4=0$ e $x^2+x-2=0$, le cui soluzioni sono $x=-2$ e $x=1$, entrambe accettabili.
Mi sembra che potresti fare così ...
Se inizialmente determini il dominio risolvendo il sistema $\{(4-x-x^2>=0),(x^2+x>=0):}$, trovi $(-1-sqrt(17))/2 <=x <= -1 uu 0<=x<=(-1+sqrt(17))/2$.
Se successivamente elevi al quadrato $sqrt(4-x-x^2) = sqrt(x^2+x)$, ottieni $4-x-x^2=x^2+x$, da cui $2x^2+2x-4=0$ e $x^2+x-2=0$, le cui soluzioni sono $x=-2$ e $x=1$, entrambe accettabili.
si si ennesimo sbaglio, grazie!
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